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Exo N°1: Exercice 1

Donner le module et un argument de chacun des complexes suivants:

$z_1 = 3+3 \mathrm{i}$; $z_2 = 3\sin(\frac{3\pi}{11})$; $z_3 = -\mathrm{i} \cos(\frac{15\pi}{13})$; $z_4 = -(1+\mathrm{i}\sqrt{3})\sin(\frac{5\pi}{17})$;

$z_5 = \cos^{2}θ - \sin^{2}θ - 2\mathrm{i}\sinθ\cosθ$ ; $z_6 = -3e^{\mathrm{i}θ}$ ; $z_7 = \sinθ - \mathrm{i}\cosθ$ avec θ ∈ IR ;

$z_8 = - \frac{1- \cos\alpha - \mathrm{i}\sin\alpha}{1+ \cos\alpha + \mathrm{i}\sin\alpha}$ avec $\alpha$ ∈ $]0;\pi[$

Correction

.$\left\vert Z_1 \right\vert$ = $\sqrt{(-3)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$. Soit \theta_{1} un argument de $z_1$. On a :

$\begin{cases} cosθ_{1} = -\frac{3}{3\sqrt{3}} \\ sinθ_{1} = \frac{3}{3\sqrt{3}} \end{cases}$ $\Rightarrow$ $\begin{cases} cosθ_{1} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ sinθ_{1} = \frac{\sqrt{2}}{3} \end{cases}$ $\Rightarrow \theta_{1} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

$0 < \frac{3\pi}{11} < \frac{\pi}{2} \Rightarrow \sin (\frac{3\pi}{11}) > 0$ donc $z_2$ est un réel positif ainsi $\left\vert z_2 \right\vert = 3\sin \left(\frac{3\pi}{11} \right) \ et \ arg(z_2)=0$
On a $\pi < \frac{15\pi}{13} < \frac{3\pi}{2} \Rightarrow \cos(\frac{15\pi}{13}) < 0$ donc $z_3$ est un imaginaire pur ainsi $\left\vert z_3 \right\vert = \cos(\frac{15\pi}{13} \ et \ arg(z_3)=-\frac{\pi}{2}$
On a $0 < \frac{15\pi}{17} < \frac{\pi}{2} \Rightarrow \sin(\frac{15\pi}{17}) >0 \Rightarrow \left\vert z_4 \right\vert = \sin(\frac{15\pi}{17}\left\vert 1 +\mathrm{i}\sqrt{3} \right\vert = \sin(\frac{15\pi}{17}\sqrt{1^2 +\sqrt{3^2 = 2\sin(\frac{5\pi}{17})} }$
Soit $\theta_4$ un argument de $z_4$ on a : $\begin{cases} \cos\theta_4 = \frac{\sin(\frac{15\pi}{17})}{2\sin(\frac{5\pi}{17})=\frac{1}{2}} \\ \sin\theta_4 = \frac{\sin(\frac{15\pi}{17})\sqrt{3} }{2\sin(\frac{5\pi}{17}) } = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$ $\Rightarrow \theta_4 = \frac{\pi}{3}$
$z_5 = (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) + \mathrm{i}(2\sin\theta\cos\theta) \Rightarrow z_5=\cos(2\theta) + \mathrm{i}\sin(2\theta)=2^{2\mathrm{i}\theta} \Rightarrow \left\vert z_5 \right\vert = 1 \ et \ arg(z_5)=2\theta$.
$z_6 = \left\vert - 3^{\mathrm{i}\theta} \right\vert$ = $\left\vert -3 \right\vert$ $\left\vert e^{\mathrm{i}\theta} \right\vert = 3 \times 4 = 3.arg(z_6) = arg(-3e^{\mathrm{i}\theta}) = arg(-3) + arg(e^{\mathrm{i}\theta}) = \pi + 0$
$z_7 = \sin\theta-\mathrm{i}\cos\theta \iff z_7=\cos(\frac{\pi}{2}- \theta ) - \mathrm{i}\sin(\frac{\pi}{2}- \theta ) \iff z_7=\cos(-\frac{\pi}{2} + \theta ) + \mathrm{i}\sin(-\frac{\pi}{2} + \theta ) \\ ainsi \ z_7=e^{\mathrm{i}(-\frac{\pi}{2} + \theta) } \ donc \ \left\vert z_7 \right\vert = 1 \ et \ arg(z_7)=-\frac{\pi}{2} + \theta$
$z_8 = \frac{1-\cos\alpha-\mathrm{i}\sin\alpha}{1+\cos\alpha-\mathrm{i}\sin\alpha} \iff z_8 = \frac{1-(\cos\alpha-\mathrm{i}\sin\alpha)}{1+(\cos\alpha-\mathrm{i}\sin\alpha)} \iff z_8=\frac{1-e^{\mathrm{i}\alpha}}{1+e^{-\mathrm{i}\alpha}} \iff \frac{e^{\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}} \times e^{-\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}} - e^{\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}} \times e^{\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}} }{e^{\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}} \times e^{-\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}} + e^{-\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}} \times e^{\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}} } \iff$ $z_8 = \frac{e^{\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}}(e^{-\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}} -e^{\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}} ) }{e^{-\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}}(e^{\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}} + e^{-\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}} ) }$ = $\frac{e^{\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}}(-2\mathrm{i}\sin\frac{\alpha}{2} ) }{e^{-\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}}(2\cos\frac{\alpha}{2} ) } $ = $ \frac{(-2\mathrm{i}\sin\frac{\alpha}{2})e^{\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}} \times e^{\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}} }{(2\cos\alpha\frac{\alpha}{2})}$ = $-\mathrm{i}\frac{\sin\frac{\alpha}{2} }{\cos\frac{\alpha}{2} } \times e^{\mathrm{i}\alpha}$ = $\mathrm{i}\tan \left (\frac{\alpha}{2} \right)\cdot e^{\mathrm{i}\alpha} \ ainsi \ \left\vert z_8 \right\vert = \left\vert -\mathrm{i}\tan \left (\frac{\alpha}{2} \right)\cdot e^{\mathrm{i}\alpha} \right\vert = \left\vert -\mathrm{i} \right\vert \cdot \left\vert \tan \left (\frac{\alpha}{2} \right) \right\vert\cdot \left\vert e^{\mathrm{i}\alpha} \right\vert = \left\vert \tan \left (\frac{\alpha}{2} \right) \right\vert\ = \tan \left (\frac{\alpha}{2} \right) \ comme \ \alpha \in ]0; \pi[, \ on \ a \ \frac{\alpha}{2} \in ]0;\frac{\pi}{2}[ \ donc \ \tan (\frac{\alpha}{2}) > 0$.

$arg(ð‘§_8) = arg \left (−\mathrm{i}\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot e^{\mathrm{i}\alpha} \right)$ = $arg \left (−\mathrm{i}\tan\left (\frac{\alpha}{2}\right) \right) + arg(e^{\mathrm{i}\alpha}) \iff ðšð«ð (ð’›_ðŸ–) = \frac{−ð…}{ðŸ}+ \alpha$

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