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Rapport de Projection

I.  Définition du rapport de projection

A.  activité

Tracer deux droites (D) et (D’) sécantes en I et une droite (d) qui n’est ni parallèle à (D) ni parallèle à (D').

Choisir les points A ; B ; C sur (D)  tel que IA= 2cm ; IB=3cm ; IC=5cm et construire les points A’ ; B’ et C’ les projetés respectifs de A ; B ; C sur (D’) parallèlement à (d).

Calculer : $\frac{IA'}{IA}$; $\frac{IB'}{IB}$; $\frac{IC'}{IC}$ et les comparer.

Réponse

1111111

  $\frac{IA'}{IA}$= $\frac{1,3}{2}$= 0,65  ;  $\frac{IB'}{IB}$= $\frac{2}{3}$= 0,66 ; $\frac{IC'}{IC}$= $\frac{3,3}{5}$=0,66     on remarque que   $\frac{IA'}{IA}$= $\frac{IB'}{IB}$= $\frac{IC'}{IC}$= 0,66 

B.  Définition

Soit p la projection de (D) sur (D’) parallèlement à (d). A ; B ; C sont des points sur (D).On note A’=p(A)   ; B’=p(B)    C’=p(C)  et $\frac{IA'}{IA}$= $\frac{IB'}{IB}$= $\frac{IC'}{IC}$=k. Le réel k est appelé le rapport de projection de (D) sur (D’) parallèlement à (d).

       Exercice d’application

Soit ABC un triangle tel que AB=8cm   BC= 6cm   AC=4cm

1)Faire une figure et calculer le rapport de projection de (AB) sur (AC) parallèlement à (BC).

2)Calculer le rapport de projection de (AB) sur (BC) parallèlement (AC).

II.  Rapport de projection orthogonale

A.  Défnition du rapport de projection orthogonale

1.  Activité

Tracer deux droites (D) et (D’) sécantes en I.

Choisir les points A ; B ; C sur (D)  tel que IA= 3cm ; IB=5cm ; IC=7cm et construire les points A’ ; B’ et C’  les projétés orthogonaux respectifs de A ; B ; C sur (D’)

Calculer :$\frac{IA'}{IA}$ ; $\frac{IB'}{IB}$ ; $\frac{IC'}{IC}$  et les comparer.

         Réponse:

2222222

$\frac{IA'}{IA}$ =$\frac{2,26}{3}$= 0,75 ; $\frac{IB'}{IB}$= $\frac{3,78}{5}$=0,75 ; $\frac{IC'}{IC}$= $\frac{5,28}{7}$= 0,75 on remarque que  $\frac{IA'}{IA}$= $\frac{IB'}{IB}$= $\frac{IC'}{IC}$= 0,75

2.  définition

Soit p le projeté orthogonal de (D) sur (D’) . A ; B ; C sont des points sur (D).
On note A’=p(A)   ; B’=p(B)    C’=p(C)  et  $\frac{IA'}{IA}$= $\frac{IB'}{IB}$= $\frac{IC'}{IC}$=K .
Le réel k est appelé le rapport de projection orthogonal de (D) sur (D’).

B.  Propriété du rapport de projection orthogonale

1.  Activité

Dans l’activité précédente, calculer k le rapport de projection orthogonale de (D) sur (D’) et k’ le rapport de projection orthogonale de (D’) sur (D).Comparer  k et k’. 

 

               333333

 

K=$\frac{IA'}{IA}$= $\frac{2,26}{3}$= 0,75 = $\frac{IB'}{IB}$= $\frac{3,75}{5}$= 0,75 = $\frac{IC'}{IC}$= $\frac{5,28}{7}$= 0,75

K'=$\frac{IA''}{IA'}$= $\frac{1,74}{2,26}$= 0,75 = $\frac{IB''}{IB'}$= $\frac{3}{3,78}$= 0,75 = $\frac{IC''}{IC'}$= $\frac{3,98}{5,28}$= 0,75

on a k=k'

2.  Propriété

(D) et (D’) étant deux droites sécantes du plan , le rapport de projection orthogonale de (D) sur (D’) est égal au rapport de projection orthogonale de (D’) sur (D) .