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Fonctions logarithmes

I.  Introduction

 Le besion de calculer non seulement la position des étoiles, mais aussi les difficultés liées à ces calculs ont poussé à la decouverte des calculs simplicateurs au $XVII$ siècle. Ces calculs avaient pour idée de base: <La multiplication est plus difficile que l'addition> . Les mathématiciens de l'époque ont trouvé des fonctions tels que $f(a\times{b})=f(a)+f(b)$. De telles fonctions sont appelées fonctions logarithmes: logarithme neperien; logarithme décimal,...
 Les fonctions logarithmes surtout décimales sont utilisées en biologie, en physique et chimie, en astronomie, en economie, en biologie, en accoustique

II.  Définition-Propriétés algébriques de la fonction neperien

A.  Définition

 On peut définir la fonction logarithme neperien notée $\mathbf{\ln}$ ou $\mathbf{\log}$ comme la fonction définie sur $\mathbf{]0;\;+\infty{[}}$ tel que l'image de $1$ est $0$ et sa fonction dérivée est la fonction inverse.
 L'image d'un réel $x$ par cette fonction est notée $\mathbf{\ln{x}}$ ou $\mathbf{\ln{(x)}}$

B.  Propriétés algébriques

$\forall{a\;et\;b\in{\mathbb{R^+}}}$, on a:

  1. $\ln{ab} = \ln{a}+\ln{b}$
  2. $\ln{\frac{a}{b}} = \ln{a}-\ln{b}$
  3. $\ln{a^n} = n\ln{a}$
  4. $\ln{\frac{1}{a}} = -\ln{a}$
  5. $\ln{\sqrt{a}} = \frac{1}{2}\ln{a}$

III.  Propriété de la fonction $\ln$

A.  Continuité-Dérivabilité-Variation

 La fonction $\ln$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R^{*+}}=]0;\;+\infty[$ et $\forall{x}\in{]0;\;+\infty[}$, $\mathbf{(\ln{(x)})'=\frac{1}{x}}$.  Dérivable sur $\mathbb{R^{*+}}$, la fonction $\ln$ est continue sur $\mathbb{R^{*+}}$
 Du signe de la dérivée de $\ln{x}$, on déduit que la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $\mathbb{R^{*+}}$

B.  Limites


$\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\ln{x}=+\infty$
$\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{\ln{x}}{x}=0$
$\lim\limits_{{x\to{0^+}}}\ln{x}=-\infty$
$\lim\limits_{{x\to{0^+}}}x\ln{x}=0$

C.  Tableau de variation


De la strict croissance de la fonction $\ln$, on a:
$\forall{a};\;b\in{\mathbb{R^{*+}}}$, on a :
$\mathbf{a<b\iff{\ln{a}<\ln{b}}}\\\mathbf{a=b\iff{\ln{a}=\ln{b}}}$
En particulier,
$\mathbf{\ln{1}=0\\a<1\iff{\ln{a}<\ln{1}}}\\\iff{\ln{a}<0}$

D.  Le nombre $e$

La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0;\;+\infty[$ donc réalise une bijection de $]0;\;+\infty[$ dans $\ln$ de $]0;\;+\infty[$ vers $]-\infty;\;+\infty[$.
$\forall{k}\in{\mathbb{R}}$; l'équation $\ln{x}=k$ admet une unique solution dans $]0;\;+\infty[$. En particulier, l'équation $\ln{x}=1$ admet une solution unique dans $]0;\;+\infty[$ que l'on note $\mathbf{e}$ : $\mathbf{\ln{e}=1;\;e\simeq{2,719...}}$

E.  Courbe de $\ln$ (construction)

$\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{ln{(x)}}{x}=0$ ; la courbe de $\ln{(x)}$ admet une branche parabolique de direction $ox$
$\lim\limits_{{x\to{0^+}}}\ln{(x)}=-\infty$; la courbe de $\ln{(x)}$ admet une branche asymptote verticale d'équation $x=0$
Equation de la tangente en $x_0=1$ et $x_0=e$
$x_0=1$
$(T_1):\;y_1=1(x-1)+\ln{1}=x-1$
$(T_2):\;y_2=\frac{1}{e}(x-e)+\ln{e}=\frac{x}{e}-1+1\\y_2=\frac{x}{e}$

IV.  Etude de fonction $\ln(u(x))$ ou $\ln{\circ{\;u}}$

Théorème

La fonction $\ln{\circ{\;u}}$ est définie sur un inyervalle $I$ sur lequel $u(x)>$
- Si $u$ est dérivable sur $I$ alors $\ln{\circ{\;u}}$ est dérivable sur $I$ et $\forall{x}\in{I}$, $\mathbf{(\ln{\circ{\;u}})'=\Large{\frac{u'}{u}}}$ .
- Si $u$ est dérivable et ne s'annule pas sur $I$ alors la dérivée de la fonction; $x\to{\ln{|u(x)|}}$ est:
$\mathbf{(\ln{|u(x)|})'=\frac{u'(x)}{u(x)}}$

V.  Logarithmes de base $"a"\; (a\in{\mathbb{R_+^*}}\;et\;a\ne{1})$

A.  Définition

On appelle fonction logarithme de base $"a"$ notée $\mathbf{\log{_a}}$ est la fonction définie sur $\mathbb{R^*_+}$ par $\mathbf{\log{(x)_{a}}=\Large{\frac{\ln{x}}{\ln{a}}}}$

  • Si $\mathbf{a=e}$ au lieu de d'écrire $\log{_e}$, on écrit tout simplement $\mathbf{\log}$ ou $\mathbf{\ln}$ : il s'agit de logarithme neperien.
  • Si $\mathbf{a=10}$, on obtient le logarithme décimal noté $\mathbf{\log}$

B.  Propriétés algébriques

 Le logarithme de base $"a"$ a les même propriétés algébriques que le logarithme décimal et neperien.
$\forall{x} \;et\; y>0$, on a:

  1. $\log{_a(x\times{y})}=\log{_a(x)}+\log{_a(y)}$
  2. $\log{_a(x^n)}=n\log{_a(x)}$
  3. $\log{_a(\frac{x}{y})}=\log{_a(x)}-\log{_a(y)}$
  4. $\log{_a(\sqrt{x})}=\frac{1}{2}\log{_a(x)}$
  5. $\log{_a(\frac{1}{x})}=-\log{_a(x)}$