Chapitre 7: Applications Linéaires - Applications Affines - Mathématiques Troisième | DigiClass
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Applications Linéaires - Applications Affines

I.  Applications linéaires

A.  Définition

On appelle application linéaire de R vers R   toute application f définie par 
                                          $f:$$\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\x\longmapsto ax$

  Remarque :

-Une application linéaire de $R$ vers $R$ est un monôme de degré 1 et de coefficient « a »

-Le réel « a » est appelé coefficient de l’application linéaire

Exemple :$f(x)=3x$   ; $g(x)=\frac{1}{3}x $ ; $k(y)= 2y$ sont des applications linéaires de R vers R  

B.  Représentation graphique

1.  Théorème

La représentation graphique de l'application linéaire   
                $f:$$\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\x\longmapsto ax (a \in{\mathbb{R}})$
est une droite d'équation $y=ax$ qui passe par l'origine du répère et par le point de coordonnées (1;a). Le vecteur $\vec{v\!}$($\begin{array}{rc}1\\a\end{array}$) est un vecteur directeur de cette droite.

 

 

2.  Répresentation

Soit a répresenter $f(x)=2x$ et $g(x)=-\frac{1}{2}x$

$F;(D_1): y=2x$
  x y
A 0 0
B 1 2

 

$G;(D_2): y=-\frac{1}{2}x$
  x y
E 0

0

F 2

-1

                                                                  

Determiner le x et y de F(x;y)

C.  Propriétés

1.  Image de la somme de deux nombres réels

    activité

Soit f une application linéaire de  R vers R définie par

  $f:$$\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\x\longmapsto 2x$

  • Compléter le tableau suivant
  • Comparer $f(x_1+x_2)$ et $f(x_1)+f(x_2)$

     Réponse:

$x_1$

$x_2$

$x_1+x_2$

$f(x_1)$

$f(x_2)$

$f(x_1+x_2)$

$f(x_1) + f(x_2)$

3

5

8

6

10

16

16

-1

2

1

-2

4

2

2

-4

-6

-10

-8

-12

-20

-20


On remarque que  $f(x_1+x_2)$ = $f(x_1) + f(x_2)$

Propriété 1

-Si f est une application linéaire de R vers R  $x_1$ et $x_2$  deux réels, alors $f(x_1+x_2)$ = $f(x_1) + f(x_2)$

2.  Image du produit de deux réels

Soit g l’application linéaire définie de $R$ vers $R$  par $g(x)=-3x$ 

Calculer $g(2 *5)$  et $2* g(5)$ ; que remarque- t-on ?

Réponse

$g(x)=-3x$    ;  $g(2*5)= g(10)= -3 *10= -30$

$2 * g(5)= 2 * (-3* 5)= 2 x ( -15)= -30$       ;

on remarque que $g(2 * 5) = 2 * g(5)$

Propriété 2

Si f est une application linéaire de $R$ vers $R$  et $x$ et $k$ des réels , alors $f(kx)= k.f(x)$

3.  Image de 0 par une application linéaire

Propriété 3

Pour toute application linéaire f, on a $f(0)=0$

II.  Applications affines

A.  Définition

On appelle application  affine de $R$ vers $R$ toute application f définie par : 
  $f:$$\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\x\longmapsto f(x)=ax+b$,    où a et b sont des nombres réels

B.  Cas particuliers

- si $a=0$ alors $f(x)=b$ ; on dit que f est une application constante

- si $b=0$ alors $f(x)=ax$ ; alors dans ce cas f est une application linéaire

Exemple

$f(x)= 2x+1$ ;  $g(x)=7x-4$   ;  $h(x)=\frac{1}{3}x – 4$  sont les applications affines.

C.  Représentation graphique

La représentation graphique de l’application affine
          $f:$$\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\x\longmapsto ax+b$  
est une droite d’équation $y=ax+b$ qui passe par le point M(0 ; b)

                 Représentation

Soit à représenter f(x)=2x-1

           (D) :$y=2x-1$

                                                       

  x y
A 0 -1
B 1 1

 

 

D.  Sens de variation d’une application affine

1.  Activité

Soit $f$ une application affine définie par  

  $f:$$\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\x\longmapsto f(x)=2x+1$

et soit $x_1=2$ et $x_2=3$

1)Calculer $f(x_1)$ et $f(x_2)$ et comparer $x_1$  et $x_2$ et ensuite $f(x_1)$ et $f(x_2)$ 

2) Soit l’application affine $g(x)=-3x +4$ ; calculer $g(x_1)$ et $g(x_2)$ et les comparer.

Réponse

1) Calculons $f(x_1)= f(2) = 2 * 2 + 1= 4 + 1= 5$     ;  $ f(x_2)= f(3)= 2 * 3 +1 = 6 + 1 = 7$

On a $2<3$ ⇔$ x_1

2) Calculons $g(x_1)= g(2) = -3 * 2 + 4= -6 + 4= -2$     ;   $$g(x_2)= g(3)= -3 * 3 +4 = -9 + 4 = -5$$

On a $2<3$ ⇔ $x_1<x_2$   et  $g(x_1)> g(x_2)$ on dit $g$ est décroissante .

2.  Théorème

Théorème

 L’application affine définie par  
$f:$$\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\x\longmapsto f(x)=ax+b$
- $f$ est croissante si $a> 0$ c'est-à-dire pour tout réels $x_1$ et $x_2$ ; si $x_1< x_2$  alors $f(x_1) <f(x_2)$
- $f$ est décroissante si $a< 0$ c'est-à-dire pour tout réels $x_1$ et $x_2$  ; si $x_1 >x_2$  alors  $f(x_1)>f(x_2)$
- $f$ est constante si $a=0$ c'est-à-dire $f(x)=b$ pour tout $x$

                      Exercice d’application

Soit $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{3}X - 5$;  $g(x)=2(6-\frac{1}{2}X)$  et $h(x)=4-\frac{1}{3}X (4 + X)$

1) Ces applications sont –elles des applications affines ?

2) Donner le sens de variation de chacune d’elles.

3) Représenter ces applications dans un même repère.  

 

III.  applications affines par intervalles

A.  Exemple 1

Soit f l’application de R vers R  définie par $f(x)= |2x+1|+|-x+3|$

  • Ecrire $f(x)$ sans le symbole de valeur absolue
  • Représenter $f(x)$ sur chaque intervalle

Réponse

$f(x)=|2x+1|+|-x+3|$

$ X$

-∞  -$\frac{1}{2}$ $3$ +∞

$|2x+1|$

$-2x-1$

$2x+1$

$2x +1$

$|-x+3|$

$-x+3$

$-x+3$

$x-3$

$f(x)$

$-3x+2$

$x+4$

$3x-2$

Pour x∈  ]-$\infty$ ;-$\frac{1}{2}$] $f(x)= -3x+2$   ; $f$ coïncide alors avec une application $f_1(x)=-3x+2$

Pour x ∈ [-$\frac{1}{2}$  ;3] $f(x)= x+4$   ; $f$ coïncide alors avec une application $f_2(x)=x+4$

Pour x∈ [3 ;+$\infty$] $f(x)= 3x-2$   ; f coïncide alors avec une application $f_3(x)=3x-2$

$f(x)$ coïncide dans chacun des trois intervalles avec une application affine ; on dit que $f$ est une application affine par intervalles

  • Représentation graphique 
$f_1(x)=-3x+2\;sur\;]-\infty;\;-\frac{1}{2}] \;y=-3x+2$
  x y
A 0 2
B 1 -1

 

$f_2(x)=x+4\;sur\;[-\frac{1}{2};\;3] \;y=x+4$
  x y
E 0 4
F -1 3

 

$f_3(x)=3x-2\;sur\;[3;\;+\infty[\; y=3x-2$
  x y
A 0 -2
B 1 1

 

 

B.  Exemple 2

Soit $g$ l’application de $R$ vers $R$  définie par

APP L14

Représentons dans un repère orthonormé la fonction $g$

Sur chaque intervalle l’application $g$ est constante . La réunion de ces trois intervalles

 est l’ensemble R

  Pour traduire le fait que l’application $g$ est constante sur chacun des intervalles ; on dit que $g$ est une fonction en escalier sur R .