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Coordonnées d'un Vecteur

I.  Coordonnées d’un vecteur du plan

A.  Repère du plan

1.  Repère du plan

Soient $(D) et (D’)$ deux droites graduées sécantes en leur origine O

 

 Capture_3

(O, $\overrightarrow{i}$, $ \overrightarrow{j}$)  définit un repère cartésien du plan

Remarque :
- On dit que le repère est normé si $OI = OJ =1$
- On dit que le repère est orthonormé si $OI=OJ =1$ et que les axes sont orthogonaux

  

Repère orthonormé : $OI=OJ$ et $(OI)⊥(OJ)$

 

  Repère normé:$OI=OJ$

2.  Coordonnées d'un vecteur d'origine O

1 - Activité
Dans un Repère orthonormé , placer le point A(2 ; 3). Donner le vecteur $\overrightarrow{OA}$ en fonction de $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$

 

$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$ on dit que 2 et 3 sont les coordonnées de $\overrightarrow{OA}$

 2- Définition

 Le plan étant muni d’un repère cartésien (O, $\overrightarrow{i}$, $ \overrightarrow{j}$)  soit M le point de coordonnées (x ; y). On a alors $\overrightarrow{OM}$=$x\overrightarrow{i}$+$y\overrightarrow{j}$  et on dit que $x$ et $y$ sont les coordonnées de $\overrightarrow{OM}$  dans le repère cartésien (O, $\overrightarrow{i}$, $ \overrightarrow{j}$)  on note $\overrightarrow{OM} \left( \begin{array}{clcr} x \\ y \end{array} \right)$

3 - Propriété

$\overrightarrow{OM} \left( \begin{array}{clcr} x \\ y \end{array} \right)$  Signifie que $\overrightarrow{OM}$=$x\overrightarrow{i}$+$y\overrightarrow{j}$

Remarque :
Si O et M sont confondus alors $\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{MM}$=$\overrightarrow{OO}$=$\overrightarrow{0}$  de coordonnées $\left(\begin{array}{clcr} 0 \\ 0\end{array} \right)$

B.  Coordonnées d’un vecteur d’ origine O

Activité

 Le plan est muni d’un repère cartésien (O ;$ \overrightarrow{j}$ ; $\overrightarrow{j} $) . Soient les points A et B de coordonnées respectives $( x_A ;y_A )$ et $( x_B ; y_B )$ .
1) Exprimer $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$  en fonction de $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$
2) Exprimer $\overrightarrow{AB}$ en fonction $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ a l’aide de la relation de Chasles
3) Ecrire $\overrightarrow{AB}$ en fonction de $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ et donner les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ dans le repère.

Réponse

1) $\overrightarrow{OA}$ =$x_A$$\overrightarrow{i}$  +$y_A$$\overrightarrow{j}$    et $\overrightarrow{OB}$ =$x_B$$\overrightarrow{i}$ + $y_B$$\overrightarrow{j}$  

2) $\overrightarrow{AB}$   =$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OB}$  = $-\overrightarrow{OA}$   +$\overrightarrow{OB}$=-( $x_A$$\overrightarrow{i}$+ $y_A$$\overrightarrow{j}$    ) + ($x_B$$\overrightarrow{i}$  + $y_B$$\overrightarrow{j}$   )= -$x_A$$\overrightarrow{j}$ - $y_A$$\overrightarrow{j}$    + $x_B$$\overrightarrow{i}$  + $y_B$$\overrightarrow{j}$  =$x_B$$\overrightarrow{i}$  - $x_A$$\overrightarrow{i}$ + $y_B$$\overrightarrow{j}$  - $y_A$$\overrightarrow{j}$  $\overrightarrow{AB}$ =$(x_B-x_A)$ $\overrightarrow{i}$ +$(y_B- y_A)$ $\overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{clcr} x_B-x_A\\y_B-x_A \end{array}\right)$

Propriété

Pour deux point A($x_A$ ; $y_A$) et B($x_B$ ;$y_B$). On a $\overrightarrow{AB}$=($x_B$-$x_A$) $\overrightarrow{i}$  +($y_B$- $y_A$) $\overrightarrow{j}$ on note $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{clcr} x_B-x_A\\y_B-x_A \end{array}\right)$

Exercice d’application

Le plan est rapporté a un repère cartésien (O ;$\overrightarrow{i}$ ;$\overrightarrow{j}$) on a A(3 ;1) ; B(-4 ;$\frac{1}{2}$) ; C(0 ;5).
Calculer les coordonnée des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ ; $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$.

C.  Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$

Activité

Soient $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{clcr} 4\\5 \end{array}\right)$ $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{clcr} 4\\5 \end{array}\right)$ deux vecteurs du plan. Que peut on dire de ces deux vecteurs ?

On remarque $\overrightarrow{u}$=$\overrightarrow{v}$

Propriété

Soient les vecteurs tels que $\overrightarrow{u}$=$x\overrightarrow{i}$+$y\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{v}$=$x’\overrightarrow{i}$+$y’\overrightarrow{j}$
- si $\overrightarrow{u}$=$\overrightarrow{v}$ alors $x=x’$ et $y=y’$
- si $x=x’$ et $y=y’$ alors $\overrightarrow{u}$=$\overrightarrow{v}$

Exercice d’ application

On donne A(-3 ; 1) ; B (0 ; 2) ; C(1 ;1) . Déterminer les coordonnées de D tel que $\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DC}$

II.  Coordonnées et opérations sur les vecteurs

A.  Coordonnées de la somme de deux vecteurs

1- Activité

on donne $\overrightarrow{u}$=2$\overrightarrow{i}$+4$\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{v}$=-3$\overrightarrow{i}$+5$\overrightarrow{j}$ .trouver les coordonnées de $\overrightarrow{u}$+$\overrightarrow{v}$
$\overrightarrow{u}$+$\overrightarrow{v}$=(2$\overrightarrow{i}$+4$\overrightarrow{j}$)+(-3$\overrightarrow{i}$+5$\overrightarrow{j}$)

=2$\overrightarrow{i}$+4$\overrightarrow{j}$-3$\overrightarrow{i}$+5$\overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{u}$+$\overrightarrow{v}$=$-\overrightarrow{i}$+9$\overrightarrow{j}$)

Les coordonnées de $\overrightarrow{u}$+$\overrightarrow{v} \left( \begin{array}{clcr}-1\\9\end{array} \right)$

Cas général
Soient les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$  tels que $\overrightarrow{u}$=$x$$\overrightarrow{i}$+$y$$\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{v}$=$x'$$\overrightarrow{i}$+$y'$$\overrightarrow{j}$.

$\overrightarrow{u}$+$\overrightarrow{v}$=$x$$\overrightarrow{i}$+$y$$\overrightarrow{j}$+$x'$$\overrightarrow{i}$+$y'$$\overrightarrow{j}$

=$(x+x')$$\overrightarrow{i}$+$(y+y′)$$\overrightarrow{j}$.

2 - Règle
Soient $\overrightarrow{u}\left( \begin{array}{clcr}x\\y\end{array} \right)$ et $\overrightarrow{v}\left( \begin{array}{clcr}x'\\y'\end{array} \right)$. Le vecteur $\overrightarrow{u}$+$\overrightarrow{v} \left( \begin{array}{clcr}x+x'\\y+y'\end{array} \right)$

B.  Coordonnées du produit d’un vecteur par un réel

1 - Activité
On donne $ \overrightarrow{u}$=2 $\overrightarrow{i}$+4$ \overrightarrow{j}$; donner les coordonnées du vecteur 2$ \overrightarrow{u}$; -3$ \overrightarrow{u}$; $\frac{1}{2}\overrightarrow{u}$
2$ \overrightarrow{u}$=2(2 $\overrightarrow{i}$+4$ \overrightarrow{j}$)=4$\overrightarrow{i}$+8$ \overrightarrow{j}$;$ \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{clcr} 4 \\ 8\end{array} \right)$
-3$ \overrightarrow{u}$=-3(2 $\overrightarrow{i}$+4$ \overrightarrow{j}$)=-6$\overrightarrow{i}$-12$ \overrightarrow{j}$;-3$ \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{clcr} -6 \\ -12\end{array} \right)$
$\frac{1}{2}\overrightarrow{u}$=$\frac{1}{2}$(2 $\overrightarrow{i}$+4$ \overrightarrow{j}$)=$\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{j}$; $\frac{1}{2}\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{clcr} 1 \\ 2\end{array} \right)$

2 - Cas général
Le plan est rapporté a un repère cartésien (O ;$ \overrightarrow{i}$;$ \overrightarrow{j}$). Soit
$ \overrightarrow{u}$  un vecteur tel que $ \overrightarrow{u}$=$x$$ \overrightarrow{i}$+$y$$ \overrightarrow{j}$  soit k un réel. k$ \overrightarrow{u}$=k($x$$ \overrightarrow{i}$+$y$$ \overrightarrow{j})$= k$x$$ \overrightarrow{i}$+k$y$$ \overrightarrow{j}$

Alors si on a $ \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{clcr} x \\ y\end{array} \right)$  le vecteur k$\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{clcr} kx \\ ky\end{array} \right)$

III.  Condition de colinéarité de deux vecteurs

A.  Propriété

Etant donné $ \overrightarrow{u} \left( \begin{array}{clcr} x \\ y  \end{array} \right)$ et $ \overrightarrow{v} \left( \begin{array}{clcr} x' \\ y'  \end{array} \right) $
$\rightarrow$ si $ \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow{v}$ sont colinéaires alors $xy’ +yx’=0$
$\rightarrow$ si $xy’ +yx’=0$ alors$ \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow{v}$ sont colinéaires

Remarque

  • Soit, dans le plan muni d’un repère orthogonal, les points A(xA ; yA) et B(xB ; yB). Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées (xI ; yI) où : X1=$\frac{Xa+Xb}{2}$ et Y1=$\frac{Ya+Yb}{2}$
  • Soit, dans le plan muni d’un repère orthogonal, les points A’(xA’ ; yA’) symétrique de A(xA;yA) par rapport à I(xI ; yI). Dans ce cas le point I est milieu du segment [AA’].On note A’=Si(A)
    X1=$\frac{Xa+Xa'}{2}$; xA’=2xI+xA
    Y1=$\frac{Ya+Ya'}{2}$;  yA’=2yI + yA
  • M’ est l’image de M par la translation du vecteur $ \overrightarrow{u}$ se note M’= t$ \overrightarrow{u}$ (M) ↔$\overrightarrow{MM'}$ =$\overrightarrow{u}$    M(xM ;yM) ; M’(xM’ ;yM’) ;$\overrightarrow{u}$ $\left( \begin{array}{clcr} x \\ y  \end{array} \right)$  $\overrightarrow{MM'}$ $\left( \begin{array}{clcr} xM'-xM \\ yM'-yM \end{array} \right)$ = $\overrightarrow{u}$ $\left( \begin{array}{clcr} x \\ y  \end{array} \right)$

xM’- xM=x et yM’- yM=y

xM’ =x +xM et yM’ =y + yM

Exercice d’application
Dans le plan muni d’un repère orthonormé ( o,$ \overrightarrow{i}$,$ \overrightarrow{j}$) on donne : A(-4 ; O) B(2 ; 3) ; C(5 ;-1).

1)Soit I milieu de [AB]. Calculer les coordonnées de I.

2)Soit H le symétrique de B par rapport à C. Calculer les coordonnées de H.

3) Soit P l’image de A par la translation de vecteur $ \overrightarrow{BC}$. Calculer les coordonnées de P.