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Fonctions Rationnelles

I.  Activité

Soit $f: R\rightarrow R$

       $X\longmapsto f(x)=\frac{2x+5}{x-3}$

compléter le tableau suivant

$x$ -1 0 $\sqrt{3}$ 3 4
$f(x)$ $-\frac{3}{4}$ $-\frac{5}{3}$ $-\frac{-21-11\sqrt{3}}{6}$ $\frac{11}{0}$= $F.I$ $13$

 

L'image de -1 par$f$ est $\frac{-3}{4} $.

Calculer l'image de -1, consiste à remplacer $x$ par -1 dans $f(x)$. Ainsi on a : $f($-1$)=\frac{2(-1)+5}{(-1)-3}$

3 n'a pas d'image par f

4 est l'antécédent par f de 13

La fonction $ f(x)= \frac{2x+5}{x-3}$ n'existe que si $x\not= 3$

II.  Définition

Soit f et g deux applications polynômes.

La fonction h définie par $h(x)= \frac{f(x)}{g(x)}$ est appelée une fonction rationnelle.

Une fonction rationnelle est donc le quotient de deux applictions polynômes.

Exemple

$K(x)=\frac{7x+1}{x+4}$ ; $q(x)=\frac{4x^2+4x+1}{2x+1}$

III.  Ensemble de définition d'une fonction rationnelle

L’ensemble  de définition ou domaine de définition d’une fonction rationnelle est un sous-ensemble de $R$ dans lequel la fonction existe ou la fonction a un sens .

Exemple : Soit $f(x)=\frac{5x+3}{3x+7}$
$f(x)$ existe si le dénominateur $3x+7\neq 0$ signifie $x\neq \frac{-7}{3}$
On note ensemble de défintion de $f:D_f$
$D_{f}=R\setminus ]{\frac{-7}{3}}[$ qui se lit $R$ privé de $\frac{-7}{3}$

Exercice d’application
Trouver l’ensemble de définition des fonctions suivantes
$G(x)=\frac{3x+1}{(2x+5)(x-2)}$; $H(x)=\frac{(x+5)(4x+9)}{16-4x^2}$; $K(x)=\frac{3x^2+2x+2}{4x^2-8x+4}$

IV.  Simplification de l'expression d'une fonction rationnelle

Soit $f(x)=\frac{(x+1)(2x-3)}{(4-x)(x+1)}$

$f(x)$ existe si et seulement si $(4-x)(x+1)\neq0$

$(4-x)(x+1)\neq0$$ \Longleftrightarrow 4-x\neq0  \; et \; x+1\neq0 \\ \Longleftrightarrow x\neq4 \; et \; x\neq-1\\ D_{f}=R\setminus ]{-1; 4}[$

Sur $D_{f}$ on a  $f(x)=\frac{(x+1)(2x-3)}{(4-x)(x+1)}=\frac{2x-3}{4-x}$

On dit qu'on a simplifié $f$ sur $D_{f}$.

V.  Images et antécédents

Soit $f(x)=\frac{x+4}{2x+5}$ ; $g(x)=\frac{3x+2}{2x+1}$

1) Calculer les images par f des réels -1 et 3 c'est à dire Calculer $f($-1$)$ et $f($3$)$         

2) Calculer l’antécédent par g du réel 0 et 1 c'est à dire Calculer $f(x)$= 0 et $f(x)$= 1