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Statistique

I.  Le tableau de contingence

A.  Activité

 Dans une classe de 39 élèves, on a recueilli et consigné des informations sur la taille et le poids des élèves dans le tableau suivant :

Nombre d'élèves 11 15 6 7
Taille (en cm) 140 150 160 170
Poids (en kg) 50 55 60 65

1. Quels sont les caractéristiques étudiées ?
2. Que représente le nombre 15 ?

Réponse

1. Les caractères étudiés sont la taille et le poids des élèves
2. La valeur 15 signifie qu’il y’a 15 élèves qui ont une taille de $150 cm$ et un poids de $55kg$

B.  Définition

Une étude portant sur deux caractères d’une population est souvent présentée par un tableau à double entrée. Ce tableau rend compte de la distribution des individus suivant la modalité des deux caractères : c’est le tableau de contingence.
Les totaux obtenus en ligne sont les effectifs marginaux liés à la taille
Les totaux obtenus en colonne sont des effectifs marginaux liés au poids

II.  Représentation d’une série statique à double variable: les nuages de points

Lorsqu’une étude est faite sur un ensemble représentant deux caractères d'une série statistique double $(x_i ; y_i)$. L’économiste ou le gestionnaire cherchera s’il y’a un lien de cause à effet entre ses deux caractères et le statisticien quantifiera ce lien.

A.  Le nuage de points

Dans un repère orthogonal bien choisi l’ensemble des points tel que $\mathbf{M_i (x_i ; y_i)}$ est appelé le nuage de point de la série double

B.  Le point moyen

Une étude faite sur deux caractères $\mathbf{x_i}$ et $\mathbf{y_i}$ permet de calculer les valeurs moyennes de $\mathbf{x_i}$ notées $\mathbf{\bar{x}}$ et celle de $\mathbf{y_i}$ notées $\mathbf{\bar{y}}$. Le point $\mathbf{(\bar{x};\bar{y})}$ est appelé point moyen de la série double

III.  Ajustement affine

A.  Ajustement

Suivant la forme du nuage du point, on peut essayer de trouver une fonction qui modélise le lien entre les deux caractères de sorte que la courbe d’équation $\mathbf{f(x) = y}$ passe le plus près possible du nuage du point.

B.  Ajustement affine

Si le nuage de point est longiligne, on peut rendre compte de la tendance observée à l’aide d’une droite d’équation $\mathbf{y= ax +b}$ on parle alors d’ajustement affine

C.  Méthode ajustement affine

Si le nuage présente un certain alignement de points, on peut ajuster à l’aide d’une droite d’équation. Il existe diverses méthodes pour obtenir cette droite.

1.  Méthode graphique

Le procédé le plus rapide consiste à effectuer un ajustement à l’œil. Cet ajustement peut être améliorer en faisant passer par le point moyen.

Définition

On trace une droite $(D)$ passant par $G$ et « assez proche des points du nuage» puis on détermine son equation sous la forme $y =mx+p$. 
En effet : $(D)$ passe par $ A(x_A; y_B)$ et $B(x_A; x_B) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{rl} y_A = mx_A + p  \\  y_B= mx_B + p \end{array}\right.$

Exemple

 Masse suspendue $x_i $ en $Kg$

2

2.5 4 4.5 6.5 7 8 10
 Allongement $ y_i $ en cm  19 20 21 22 26 32 36 40

 

 Déterminons l'équation de la droite $(D)$ passant par $G(5.5; 27)$ et le septième point du nuage de points 

              $ \left\{ \begin{array}{ll} 27 = 5.5m + p\\36 = 8m + p \end{array}\right. \Leftrightarrow m = 3.6 $ et  $ p = 7.2 \Leftrightarrow (D): y =3.6x + 7.2 $

2.  La méthode Mayer

Elle consiste à fractionner le nuage en deux sous nuages d’importance équivalence et à joindre les points moyens de deux nuages partiels.

Définition

On fractionne le nuage de points en deux sous-nuages de même effectif de points moyens respectifs $G_1$ et $G_2$ (ou différent a une unité près si l'effectif est impair ) alors puis on détermine l'équation de la droite $(G_1G_2)$ appelée droite de MAYER.

Exemple

Determinons la droite de Mayer du nuage de points
- Soit $G_1$ le point moyen des quatres premiers points

     $G_1(\frac{13}{4}; \frac {82}{4})$ $\Leftrightarrow$$G_1(3.25; 20.5)$

- Soit $G_2$ le point moyen des quatres derniers points 
     
     $G_2(\frac{31.5}{4}; \frac {134}{4})$ $\Leftrightarrow$$G_2(7.875;33.5)$

- Equation de la droite $(G_1G_2)$

     $(G_1G_2)$: $y = mx + p$$\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{ll} 20.5=3.25m+p \\ 33.5=7.875m+p \end{array}\right.$$\Leftrightarrow$ $m = 2.8$ et $p = 11.4$

Donc $G_1G_2$ : $y = 2.8x +11.4 $

3.  Ajustement affine après le changement de variable

Des changements de variables convenables permettent de transformer le nuage de points situé au voisinage d’une courbe en un nuage longiligne.

Définition

C'est faire des prévisions ou retrouver des résultats manquants sur la série statistique double à partir de l'équation $y=mx+p$

Exemple

En utilisant la droite $(D): y = 3.6x + 7.2$
- Determinations l'allongement previsible pour une masse suspendue de 18 Kg
   $x= 18 \Leftrightarrow y$ $=3.6\times 18+7.2\\=72$
- Estimons la masse suspendue ayant produit un allongement du ressort de 27 cm.
   $y=27 $ $\Leftrightarrow 27 =3.6x + 7.2\\ \Leftrightarrow x=5.5$
- Pour une masse suspendue de 18 $Kg$, l'allongement a prevoir est de 72 cm.

- La masse de l'objet suspendu au ressort ayant produit un allongement du ressort de 27 cm est 5.5 $Kg$