AUTO-INDUCTION
I. Mise en évidence expérimentale
A. Dispositif expérimental
Les lampes L1 et L2 sont identiques
La bobine et le résistor ont même résistance R
B. Observation
Lorsqu’on ferme l’interrupteur K, on constante que :
- la lampe L1 s’allume immédiatement
- la lampe L2 s’allume avec un retard de quelques secondes
La bobine s’oppose à l’installation du courant dans la branche où elle est placée. Ce phénomène est appelé auto-induction.
Cas particulier du phénomène d’induction magnétique (Hors programme) où la bobine subit les variation du champ magnétique qu’elle créé elle-même.
C. Interprétation
A la fermeture de l’interrupteur K, le courant $i_{2}$ passe de O à sa valeur maximale. Il crée dans la bobine un champ magnétique dans la bobine une force électromotrice (f.e.m) auto-induite notée e qui s’oppose à l’installation du courant.
Remarque
La force électronique n’apparait que lorsque le champ magnétique varie. Le phénomène d’auto-induction est un phénomène transitoire car il disparait lorsque l’intensité du courant i devient constante (régime permanent) et la bobine se comporte comme un conducteur ohmique.
II. Expression de la force électromotrice d’auto-induction $e$
A. Convention
Sens conventionnel du courant
-
- si $i>0$, le courant circule dans le sens positif choisi
- si $i<0$, le courant circule dans le sens contraire du sens positif choisi
- la tension aux bornes de la portion du circuit est la tension en suivant le sens positif
- d’un point de vue électrique, on considére la bobine comme une association en série d’un électromoteur de force électromotrice (f.e.m) e et de résistance r.
Avec cette représentation, si e>0, le courant i circule dans le sens positif choisi. Et si e<0, le courant circule dans le sens contraire du sens positif choisi.
- Loi d’ohm appliquée à la bobine
$u=Ri=e$
B. Valeur de la f.e.m
1. Dispositif expérimental
Le GBF une tension en dent de scie ou tension triangulaire
2. Observateur
Sur la voie Y, on visualise la tension $U_{eA}=Ri$ aux bornes de la résistance. Ce qui permet au facteur R près de visualiser l’intensité i $(i=\frac{U_{eA}}{R})$
sur la voie Y2, on visualise la tension $U_{AB}$ aux bornes de la bobine de résistance négligeable (r=0)
$U_{AB}=ri-e$
$r≈0$ → $U_{AB}= -e$
L’oscillogramme observé sur la voie Y2 se déduit de celui observé sur voie Y1 par une dérivée au facteur R près.
On déduit que
$U_{AB}= - e=k\frac{di}{dt}$
Coefficient k correspond à l’induction de la bobine qu’on note par L.
L’expression de la force fem de point d’induction e a pour expression :
$e=- L\frac{di}{dt}$
Avec $L>0$
C. Induction d’une bobine
Dans le cas d’un solénoïde, l’inductance vaut :
$L=\frac{U_{O}N^{2}S}{l}$
$U_{O} : 4∏.10^{-7}SI$
N : nombre de spires
S : surface Induction d’une bobine de la section du solénoïde
l : longueur du solénoïde
L’inductance s’exprime en henry(H)
D. La tension aux bornes d’une bobine ou relation tension-intensité
$u=ri-e$ or $l=-L\frac{di}{dt}$
Donc $u=ri+L\frac{di}{dt}$
Cas particuliers
- Si $r=0$ alors $u=-e=L\frac{di}{dt}$
- Si $i=cte$ (régime permanent)
$\frac{di}{dt}=0$ alors $u=ri$
La bobine se comporte comme un conducteur ohmique.
Remarque
La constante de temps d’un circuit d’induction L et de résistance total R a pour expression
$áµ¹=\frac{L}{R}$
III. Energie stockée par une bobine
A. Mise en évidence expérimentale
B. Observation
- l’interrupteur K est fermé : le moteur ne tourne pas.
En effet à partir de C, l’intensité i ne peut pas traverser le moteur.
La diode est dans le sens non passant
- L’interrupteur K est ouvert : le moteur tourne alors que le générateur n’est plus dans le circuit.
C. Interprétation
- Interrupteur K fermé
Le courant varie en passant de O à sa valeur maximale. En même temps le champ magnétique dans la bobine varie et une f.e.m e d’auto-induction négative apparait. La bobine se comporte alors comme un récepteur et stock l’énergie.
- Interrupteur K ouvert
Le courant varie en passant de sa valeur maximale à O en même temps f le champ magnétique dans la bobine varie et le f.e.m e d’auto-induction positive apparait.
La bobine se comporte comme un générateur et restitue l’énergie magnétique préalablement stockée.
D. Puissance électrique instantanée d’une bobine
$u=ri+L\frac{di}{dt}$
$P=ui$
$P=ri^{2}+iL\frac{di}{dt}$
$P=ri^{2}+\frac{d(\frac{1}{2}Li^{2})}{dt}$ car $ Li\frac{di}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}Li^{2})$
La puissance électrique instantanée reçue par une bobine a pour pression:
$p=ri^{2}+\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}Li^{2})$
Cette puissance se décompose en deux termes :
- La puissance joule $P_j=ri^{2}$ cette puissance est dissipée sous forme de chaleur par effet joule
- La puissance magnétique $P_m=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}Li^2)$. C’est une puissance utile.
Elle est stockée par la bobine.
E. Expression de l’énergie magnétique stockée
$E_{mg}=\int_{o}^{i}I_mdt=\int_{o}^{i}Li\frac{di}{dt}=[\frac{1}{2}Li^{2}]^{i}_{O}$
$E_{mg}=\frac{1}{2}Li^{2}$
Autre méthode
$P_{mg}=\frac{dE_{mg}}{dt}$ → $dE_{mg}=P_{mg}dt$
→ $dE_{mg}=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}Li^{2})$
On a : $E_m=\frac{1}{2}Li^{2}$
IV. Bobine en régime sinusoïdal forcé
A. Dispositif expérimental
La GBF délibère une tension sinusoïdale.
Y1 permet de visualiser la tension aux bornes de la bobine de résistance négligeable
Y2 permet de visualiser la tension aux bornes de la résistance. Ce qui permet de visualiser l’intensité i dans le circuit
B. Observation
A l’écran de l’oscilloscope, on observe les oscillogrammes suivants
La tension u et l’intensité i sont en quadrature. En effet lorsque la tension u est maximale (ou minimale) l’intensité i est nulle et vice versa.
C. Interprétation
On choisit i de telle sorte que la phase à l’origine de son équation soit nulle.
$i=I_m\cos{ \omega t}$
$u=U_m\cos{(\omega t+Q)}$
La borne utilisée st une induction pure (r=0)
On a : $u=L\frac{di}{dt}$
$u=L\frac{d}{dt}(I_m\cos{\omega t})=-L\omega I_m\sin{\omega t}$
$u=L\omega I_m\cos{(\omega t+\frac{∏}{2})}$
$u=U_m\cos{(\omega t+Q)}$
$u=L\omega I_m \cos{(\omega t+Q)}$
Par indentfication on a : $U_m=L\omega I_m$, $Q=\frac{∏}{2}$
$Q>0$: $U$ est en avance de phase sur $i$.