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Equations de Droites

I.  Equation de Droites.

A.  Vecteur directeur d'une droite.

Soit A un point quelconque du plan et soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur non nul.

Construire les points B ; C ;F et G tel que :

$\overrightarrow{AB}$  = $\overrightarrow{u}$; $\overrightarrow{AC}$ = 3$\overrightarrow{u}$;  $\overrightarrow{AF}$ = $\frac{5}{2} \overrightarrow{u}$;  $\overrightarrow{AG}$ = $\frac{-1}{2} \overrightarrow{AB}$; 

1-  Que peut-on dire des points A ;B ;C ;F ;G ? justifier.
2-  Soit M un point quelconque pour lequel il existe un réel k tel que : $\overrightarrow{AM}$  = k $\overrightarrow{u}$.

Que peut-on dire des points A ;B ;M ?justifier.

 

 
On remarque que les points A ; B ;C ;F et G sont sur la même droite (D).

  • -Si M est un point tel que $\overrightarrow{AM}$ = k $\overrightarrow{AB}$ alors A ; B et M sont  alignés. $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$  sont donc colinéaires et $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont aussi colinéaires.
  • Si M est un point de (D) alors il existe un réel k tel que $\overrightarrow{AM}$ = k $\overrightarrow{u}$; on dit que $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de (D). 

B.  Définition.

Etant donnés deux points A et B d’une droite (D) ,on appelle vecteur directeur  tout vecteur $\overrightarrow{u}$ non nul colinéaire à $\overrightarrow{AB}$.

 

C.  Conséquence.

Etant donné un point A et un vecteur non nul $\overrightarrow{u}$, il existe une et une seule droite passant par A et ayant pour  vecteur directeur le vecteur $\overrightarrow{u}$.

 

 

A et B etant deux points distincts d’une seule droite (D). Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur pour la droite (D).

          Remarque :

- Si $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de la droite (D) tout vecteur non nul qui est colinéaire à $\overrightarrow{u}$ est aussi un vecteur pour la droite (D).

 

D.  Equation cartésienne d'une droite.

1.  Activités.

Dans un repère orthonormé du plan ,soit (D) la droite passant par le point A(2 ;3) de vecteur directeur $\overrightarrow{u}  \left(\begin{array}{clcr} -2 \\ 1 \end{array}\right)$ et M(x ; y) un point de la droite (D).

Trouvons une équation de la droite (D).

M(x ;y) $\in$ (D) et M(x;y). $\overrightarrow{AM}$ colinéaire à $\overrightarrow{u}$  si $xy’-x’y = 0.$
$\overrightarrow{AM} \left(\begin{array}{clcr} x & - 2 \\ y & - 3\end{array}\right)\;  col\; \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{clcr} -2 \\ 1 \end{array}\right)$

$(x - 2) - (- 2) (y - 3) = 0$
$x + 2y - 8 = 0$
On dit que $x+2y-8=0$ est une équation de la droite (D) et $\overrightarrow{u}  \left(\begin{array}{clcr} 4 \\ 2 \end{array}\right)$ est son vecteur directeur.
Si les coordonnées d’un point vérifie l’équation $x+2y-8=0$ alors ce point appartient à la droite (D).

2.  Propriétés.

Le plan étant muni d’un repère $(o; i; j) a et b$ deux réels non nuls; c un réel
quelconque. L’ensemble des points M dont les coordonnées $x et y$ vérifie $ax + by + c = 0$ est appelée équation de la droite (D) dans le (o; i; j).
Le vecteur $\overrightarrow{u}  \left(\begin{array}{clcr} -a \\ b \end{array}\right)$ est un vecteur directeur de la droite (D).

Si b $\ne$ 0 on a : $ ax + by + c = 0 \\ by = -ax - c \\ y =\frac{-ax - c}{c} = \frac{-ax}{b} - \frac{c}{b} $

Si on pose $m =\frac{-a}{b}$ et $p =\frac{-c}{b}$
 On a :$ y = mx + p.$

Propriété

- Si (D)a pour équation $y = mx + p$ alors $\overrightarrow{u}  \left(\begin{array}{clcr} 1 \\ m \end{array}\right)$ est un vecteur directeur de $(D)$ et m est appelé le coefficient directeur de (D).
- Si le repère est orthonormé alorsm est appelé pente de la droite. $P$ est l'ordonnée du point d'abscisse 0; p est l'ordonnée à l'origine.

II.  Droites-paralléles Droites-perpendiculaires

A.  Droites paralélles.

1.  Rappels

  • Si deux droites sont parallèles alors leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
  • Si deux droites ont  leurs vecteurs directeurs colinéaires alors elles sont parallèles.

2.  Activités

Dans un repère (o; i; j) du plan :

1- Tracer les droites ($\Delta$) ; ($\Delta$′) d’équations respectives : ($\Delta$) : $y = -2x;$
($\Delta$′) : $y = -2x + 2. $ Que constate-t-on de ($\Delta$) et ($\Delta$′) ?  

2- Donner les coordonnées des vecteurs directeurs de ($\Delta$) et ($\Delta$′). Que remarque-t-on ?

 

 

    Remarque :
1- On remarque que ($\Delta$) et ($\Delta$’) sont parallèles.

2- $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{clcr} 1 \\ -2 \end{array}\right)$ = $\overrightarrow{u'} \left(\begin{array}{clcr} 1 \\ -2 \end{array}\right)$

3.  Droites paralélle à l'axe des abscisses.

Construire une droite (D’) passant par F(1;2) et parallèle à l’axe des abscisses.
Que remarque-t-on ?

       Reponse :
On remarque que tous les points situés sur la droite (D') ont pour ordonnée 2; on dit que y = 2 est une équation de la droite (D').

Conclusion
Toute droite parallèle à l'axe des abscisses a une équation de la forme

$y = b$ ou «b» est l’ordonnées d’un point de cette droite.  
NB : La pente de droite d’équation y=b est nulle.

4.  Droites passant par l'origine du repére.

  • Toute droite passant par l'origine du repère et distincte de l’axe des ordonnées à une équation de la forme y = ax. $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{clcr} 1 \\ a \end{array}\right)$ est un vecteur directeur de cette droite.
  • Toute droite d’équation y = ax passe par l’origine du repère.

B.  Droites perpendiculaires.

1.  Activités.

Activités :
Soit ($\Delta$) une droite d'équation : y = 3x
1- Donner un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de ($\Delta$).
2- Déterminer un vecteur  $\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{clcr} 2 \\ y' \end{array}\right)$
3- Trouver une équation de droite de  (∆’) perpendiculaire à (∆) qui a pour vecteur directeur $\overrightarrow{v}$ et qui passe par $A (1 ; 1).$
4- Calculer le produit des pentes de  ($\Delta$) et de  ($\Delta$’).

Reponse :
1- (D) a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{clcr} 1 \\ 3 \end{array}\right)$
2- Déterminons un vecteur $\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{clcr} 2 \\ y' \end{array}\right)$
$\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{clcr} 2 \\ y' \end{array}\right) \perp  \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{clcr} 1 \\ 3 \end{array}\right)$ ;
$(2×1) + (y'× 3) = 0$; $3y' = -2$ ; $y' =\frac{-2}{3}$ ;
$\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{clcr} 2 \\ \frac{-2}{3} \end{array}\right)$
3- L'équation de ($\Delta$’) : y = $\frac{-1}{3}x$ + $\frac{4}{3}$
4- Calculons le produit des pentes : $3x(\frac{-1}{3}) = -1.$

2.  Propriétés.

- Dans un repère orthonormé si le produit des pentes de deux droites est -1 alors ces droites sont perpendiculaires.
- Dans un repère orthonormé si deux droites, non parallèlesaux axes, sont perpendiculaires alors le produit de leur pente est -1.