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Equations - Inéquations

I.  Equation du premier degré à une inconnue

A.  Rappel

Une équation est une égalitée où se trouve une inconnue.
Résoudre une équation c'est trouver la/les valeur(s) de(s)  l'inconnue(s) pour que l'égalité se vérifie.

B.  Equation de type $ax+b=cx+d$

Exemple

Résoudre dans $R$ l’équation $3x+1=x-4$ et $\frac{x}{3}-5=-2x+\frac{3}{2}$

 

Résolution:

$3x+1=x-4$

$3x-x=-4-1$

$2x=-5$

$x=-\frac{5}{2}$

$\mathbf{S_R=-{\frac{5}{2}}}$

 

$\frac{x}{3}-5=-2x+\frac{3}{2}$

$\frac{x}{3}+2x= \frac{3}{2} +5$

$\frac{x+6x}{3}= \frac{3+10}{3}$

$x+6x=3+10$

$7x=13$

$x=\frac{13}{7}$

$\mathbf{S_R={\frac {13}{7}}}$

On trouve  respectivement $S_{R}={ \frac{-5}{2}}$ et $S_{R}={\frac{13}{7}}$
Remarque : la resolution d'une équation amène à chercher $x$. Il s'agit ainsi de regrouper $x$ d'un coté  et de l'égaliser  les réels d'un coté.

Exercice d'application

Résoudre dans $R$:  $\frac{x}{4} -  \frac{3}{2}= \frac{-x+1}{6}$     et     $17x+10=-7x-9$

C.  Equation de types $(ax+b)(cx+d)=0$

Rappel si $ab=0$ alors $a=0$ ou $b=0$

Exemple

Résoudre dans $R$: $(3x+6)(x -3)=0$

Résolution:

$(3x+6)(x -3)=0 \Longleftrightarrow (3x+6)=0$ ou $(x -3)=0$

                         $ \Longleftrightarrow x=-2$ ou $x=3$

                         $S_{R}$={${-2;3}$}

D.  Equation de type $\frac{ax+b}{cx+d}=e$

Exemple

résoudre dans $R$ : $\frac{3x-1}{2x-5}$=5

On trouve    $S_{R}$={$\frac{24}{7}$}

Exercice d’application

Résoudre dans $R$; $\frac{7x-1}{2x-3}$=$\frac{5}{3}$

II.  Inéquation du premier degré à une inconnue

A.  Rappels

  • Une inéquation est une inégalité où se trouve une inconnue;
  • Résoudre une inéquation c’est donner l’ensemble de toutes les inconnues pour que l’inégalité se vérifie.

B.  L'inéquation de type $ ax+b< cx+d $

$3x-7<11x-1$ et $2x-1<x+9$

$S_{R}=]\frac{-3}{4};+\infty[$ et $S_{R}=]-\infty;10[$

 Capture7

NB :L’ensemble de solution est la partie non hachurée de la droite.

Exercice d’application

Résoudre dans $R$:  $\frac{3x+1}{8}$-$\frac{2x+3}{4}$ <  $\frac{x+5}{2}$

C.  Inéquation de type $ (ax +b)(cx+d) <0 $

On étudie les signes de chaque facteur  et on consigne les résultats obtenus dans un tableau.

Exemple

Résoudre dans $R    (2x +5)(3x+6)<0$

Résolution:

Cherchons d’abord les valeurs de x pour lesquelles $(2x +5)(3x+6)=0$

On trouve  $x=\frac{-5}{2}  ou  x =-3$

Tableau de signes

 Capture8
$S_{R}=]-3;\frac{-5}{2}[$

Exercice d’application

Résoudre dans $R$

a)  $(x-1)(-x-2)\ge0$

b)  $(-3x+7)(4x-5)\geq0$

III.  Equations avec valeurs absolues

A.  Equation de type $| ax+b|=c$ (c positif)

$|ax+b|=c \Longleftrightarrow ax+b=-c$

Exemple

résoudre $|3x-5|=1$

Résolution

$ 3x-5=1 \longleftrightarrow 3x=1+5 \longleftrightarrow3x=6 \longleftrightarrow x=2$

$ 3x-5=-1\longleftrightarrow 3x=-1+5 \longleftrightarrow 3x=4 \longleftrightarrow x=\frac{4}{3}$

$S_{R}$={$\frac{4}{3}; 2$}

B.  Equations de types $ |ax+b|=cx+d$

Exemple

Soit à résoudre $|x-5|= 7x +1$

Résolution:

Ecrivons $|x-5|$ sans le symbole de valeur absolue.

Posons $ x-5=0 \longleftrightarrow   x= 5$

Capture5

  • Sur $]-\infty ;5 [$ ;

   $|x-5|= -x+5 \longleftrightarrow  -x+5=7x +1   \longleftrightarrow 7x+x=5-1 \longleftrightarrow    8x= 4  \longleftrightarrow x=\frac{1}{2}$     $S_{R}=[\frac{1}{2}]$

  • Sur $]5 ;+\infty  [$ ;  

$|x-5|= x-5 \longleftrightarrow   x-5=7x +1  \longleftrightarrow  7x-x=-5-1  \longleftrightarrow   6x= -6 \longleftrightarrow      x=-1$

$S_{R}=[{-1; \frac{1}{2}}]$

C.  Equations de types $|ax+b|=|cx+d|$

Exemple

Soit à résoudre $|5x+2|=|x-1|$

Résolution:

$|5x+2|=|x-1|$ $ \longleftrightarrow |5x+2|-|x-1|=0$

      On écrit $|5x+2|-|x-1|$ sans le symbole de la valeur absolue

Capture6

  • Sur $]-\infty ;-\frac{2}{5} ];$
    $ |5x+2|-|x-1|=0$ $\longleftrightarrow -4x-3=0\\ \longleftrightarrow  -4x=3\\ \longleftrightarrow  x= \frac{-3}{4} \\S_{1}= [-\frac{3}{4}]$
  • Sur $[\frac{-2}{5}  ;1];$
    $ |5x+2|-|x-1|=0$ $\longleftrightarrow 6x+1=0\\ \longleftrightarrow  6x=-1\\ \longleftrightarrow x=\frac{-1}{6}\\S_{2}=[ -\frac{1}{6}  ]$
  • Sur $]1 ;+\infty ]; $
    $|5x+2|-|x-1|=0$ $\longleftrightarrow 4x+3=0\\ \longleftrightarrow 4x=-3\\ \longleftrightarrow x=-\frac{3}{4}\\S_{3}= [-\frac{3}{4}]$

 $ S_{R}= [\frac{-3}{4} ; \frac{-1}{6} ]$