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Géométrie dans l’espace

I.  Orientation d’un repère dans l’espace

A.  Description expérimentale

 Considérons dans l’espace $(E)$ un repère $(o,\;\vec{i},\;\vec{j},\;\vec{k})$ les demi-droites $[ox)$, $[oy)$ et $[oz)$ de vecteur directeur respectifs $\vec{i},\;\vec{j},\;et\;\vec{k}$.
Soit $\vec{i},\;\vec{j},\;\vec{k}$ les points définis par les vecteurs $o\vec{i} =\vec{i}$, $o\vec{j} =\vec{j}$ et $o\vec{k} =\vec{k}$, un observateur noté $DG$ est apte à distinguer sa gauche de sa droite est placé sur $oz$ les pièces en $o$ et la tête en $k$ et le point $i$ droit devant lui.

Sur la figure 1,
- le point est à gauche de l’observation. Toutes figures de ce type auront la même représentation sur la $\delta{_2}$
- le point $J$ est à droite de l’observateur. Les figures de ce type auront les mêmes représentations.
Ceci permet alors de partager l’ensemble des repères de l’espace en deux parties expérimentalement

B.  Définition

Définition1

Un repère $(o, \vec{i},\;\vec{j},\;\vec{k})$ de l’espace est qualifié de direct lorsqu’il est du premier type.
un repère du deuxième type est dit repère indirect
Remarque : il s’agit de la convention usuelle en physique appelée bonhomme d’ampère

Définition2

Orienter un repère c’est dire s’il est direct ou indirect.

II.  Calcul vectoriel

A.  Vecteur et plan de l’espace

1.  Vecteur direct d’un plan

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires du plan $P$. $A$ tout point $M$ de $P$, il existe alors deux réels $x$ et $y$ tel que $O\vec{M}= x\vec{u}\; +\; y\vec{v}$ alors les vecteurs $\vec{u}$et $\vec{v}$ sont appelés vecteurs directs du plan $P$.

2.  Vecteur coplanaire

Soient $\vec{u}, \vec{v}\; et\; \vec{w}$ trois vecteurs de l’espaces et $A$ un point donné, les points $B$, $C$ et $D$ sont tel que $\vec{AB} = \vec{u}\; ; \vec{AC} = \vec{v} \;et\; \vec{AD} = \vec{w}$ ; on dit que $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $w$ sont coplanaires respectivement les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires s’il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tel que des vecteurs puissent s’écrire comme une combinaison linéaire des deux autres c’est-à-dire $\mathbf{\vec{u} = \alpha{\vec{v}} +\beta{\vec{w}}}$ ou $\mathbf{\vec{AB} = \alpha{\vec{AC}} +\beta{\vec{AD}}}$

3.  Base de repère de l’espace

Le triplet $(\vec{i},\;\vec{j},\;\vec{k})$ de l’espace, de vecteur non colinéaire est dit une base de l’espace. Dans le repère $(\vec{i},\;\vec{j},\;\vec{k})$ de l’espace, un point $M$ à pour coordonnées $(x, y, z)$ et le vecteur $O\vec{M} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$

Exemple

Représentation du point $M(x,\;y,\;z)$

 

4.  Calcul dans une base de l'espace

Soient $A(x_A;\;y_A;\;z_A)$ et $B(x_B;\;y_B;\;z_B)$ deux points de l'espace, $\vec{u}(x;\;y;\;z)$ et $\vec{v}(x';\;y';\;z')$ deux vecteurs non nuls dans la base $(\vec{i};\;\vec{j};\;\vec{k})$ de l'espace.
On a:
$\mathbf{\vec{AB}\left(\begin{array}{II} x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_B \end{array}\right)}$; $\mathbf{\alpha{\vec{u}}\left(\begin{array}{II} \alpha{x}\\\alpha{y}\\\alpha{z} \end{array}\right)}$ ; $\mathbf{(\vec{u}+\vec{v})\left(\begin{array}{II} x+x'\\y+y'\\z+z' \end{array}\right)}$.

B.  Produit scalaire

1.  Définition et règle de calcul

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls de l’espace. On appelle produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ le nombre réel défini par ${\vec{u}.\vec{v}= ||\vec{u}||.||\vec{v}||.\cos{(\vec{u};\vec{v})}}$

Remarque

Lorsque : $\vec{u}$ perpendiculaire à $\vec{v}$ => $(\widehat{\vec{u},\vec{v}})=\pm{\frac{\pi}{2}}$
$=>\cos{(\widehat{\vec{u},\vec{v}})}=0$
$=>\vec{u}.\vec{v}=\vec{0}$
$\vec{u}$ colinéaire à $\vec{v}$ :
$=>(\widehat{\vec{u},\vec{v}})=0=>cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})=1$
$=>\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||.||\vec{v}||$
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaire et de même sens.
$(\widehat{\vec{u},\vec{v}})=\pi=>\cos{(\widehat{\vec{u},\vec{v}})}=-1$
$=>\vec{u}.\vec{v}=-||\vec{u}||.||\vec{v}||$
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaire et de sens contraire. Les règles de calcul de produit scalaire dans le plan sont les mêmes que dans l’espace.
On a:
$\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$
$\vec{u}^2=||\vec{u}||^2$
$\vec{u}.\vec{v}=0<=>\vec{u}\perp{\vec{v}}$
$\alpha{\vec{u}(\vec{v})}=\alpha{(\vec{u}.\vec{v})}$
$\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$

2.  Expression analytique du produit scalaire

Dans une base orthonormée de l’espace
$(\vec{i},\; \vec{j},\; \vec{k})\; est\; orthonormé \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
||\vec{i}||=||\vec{j}||=||\vec{k}||=1\\
\vec{i}.\vec{j}=0;\;\vec{j}.\vec{k}=0;\;\vec{k}.\vec{i}=0
\end{array}
\right.$
Soit $\vec{u}\left(\begin{array}{cc} x \\ y \\z \end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{cc} x' \\ y' \\z' \end{array}\right)$ deux vecteurs de l'espace, on a :
$\mathbf{||\vec{u}||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$; $\vec{u}^2=||\vec{u}||^2=x^2+y^2+z^2$
$\mathbf{\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'}$

III.  Produit vectoriel

A.  Définition

1.  Avec trois points non alignés

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés de l’espace. Le produit vectoriel de vecteur $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ dans cet ordre est le vecteur $\vec{AD}$ défini par les trois conditions
- la droit $(AD)$ perpendiculaire au plan $A,\; B,\; C$
-le repère $(A, \vec{AB},\;\vec{AC},\;\vec{AD})$ est direct
- la longueur du $[AD]$ est tel que $AD = AC.AB.\sin{(B\hat{A}C)}$
Le vecteur $\vec{AD}$ produit vectoriel de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ dans cet ordre est noté $\mathbf{\vec{AD}=\vec{AB}\land{\vec{AC}}}$ ou $\mathbf{\vec{AD}=\vec{AB}\times{\vec{AC}}}$

2.  Avec trois (03) points alignés

Si trois points $A,\; B,\; C$ sont alignés, le produit vectoriel de $\vec{AB},\;\vec{AC}$ est nul $(\vec{0}).$
$A,\; B,\; C$ sont alignés <=>$\vec{AB}\land{\vec{AC}}=\vec{AD} = AB.AC\sin{(B\hat{A}C)}.\vec{a}$.
$A,\; B\; et\; C$ sont alignés =>$\vec{AB}$ colinéaire à $\vec{AC}$
$(\hat{\vec{AB},\vec{AC}})=0$ ou $(\hat{\vec{AB},\vec{AC}})=\pi$ d'où $\mathbf{\sin(\hat{\vec{AB},\vec{AC}})=\sin{(B\hat{A}C)}=0}$ par consequent
$\vec{AD}=AB.AC\times{0}.\vec{a}=\vec{0}$

3.  Produit vectoriel de deux vecteurs

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs de l’espace. Etant donné un point $A$. on construit les points $B$ et $C$ tel que
$\vec{u}=\vec{AB},\;\vec{v}=\vec{AC}$. Le produit vectoriel de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans cet ordre est le vecteur $\vec{AB}\land{\vec{AC}}$ et
on note : $\mathbf{\vec{u}\land{\vec{v}}}$.
Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaire, on a :
$\mathbf{(\vec{u},\;\vec{v},\;\vec{u}\land{\vec{v}})}$ est une base orthogonale directe.

B.  Les propriétés du produit vectoriel

1.  Propriétés premières

Théorème1

Etant donné deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ leur vectoriel est vecteur orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$

Théorème2

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\mathbf{\vec{u}\land{\vec{v}}=0}$

Théorème3

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont de vecteurs unitaires et orthogonaux alors $\mathbf{(\vec{u};\; \vec{v};\;\vec{u}\land{\vec{v}})}$ est une base orthogonale directe.

Théorème4

Si $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ est une base orthogonale directe, alors $\mathbf{\vec{w}=\vec{u}\land{\vec{v}}}$

2.  Les règles de calcul

  • Asymétrie de produit vectoriel : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ étant deux vecteurs, on a :
    $\mathbf{\vec{u}\land{\vec{v}}} $ $=-\mathbf{\vec{v}\land{\vec{u}}}$
  • Bilinéarité de produit vectoriel : soit $u,\;v$ et $w$ des vecteurs de l’espace $(\alpha \;et \;\beta)\in{\mathbb{R}}$.
    On a :
    • $\vec{u}\land{\alpha{\vec{v}}}=\alpha{(\vec{u}\land{v})}$ ou $(\alpha{\vec{u}})\land{\vec{v}}=\alpha{(\vec{u}\land{\vec{v}})}$

    • $(\alpha{+\beta{}})(\vec{u}\land{\vec{v}})$$=\alpha{(\vec{u}\land{\vec{v}})}+\beta{(\vec{u}\land{\vec{v}})}$

    • $\vec{u}\land{(\vec{v}+\vec{w})}=\vec{u}\land{\vec{v}}+\vec{u}\land{\vec{w}}$

3.  Coordonnées de produit vectoriel

Dans cette partie, l’espace est rapporté à un repère orthonormal direct $(o,\; i,\; j,\; k)$. on a :

$\vec{i}\land{\vec{j}}=\vec{k}$                                                            $\vec{i}\land{\vec{i}}=\vec{0}$

$\vec{j}\land{\vec{k}}=\vec{i}$                                                            $\vec{j}\land{\vec{j}}=\vec{0}$

$\vec{k}\land{\vec{i}}=\vec{j}$                                                             $\vec{k}\land{\vec{k}}=\vec{0}$

$\vec{j}\land{\vec{i}}=-\vec{k}$                                                           $\vec{i}\land{\vec{k}}=-\vec{j}$

$\vec{k}\land{\vec{j}}=-\vec{i}$

On considère dans le repère $(0,\;\vec{i},\;\vec{j},\;\vec{k})$ les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$

$\vec{u}\left(\begin{array}{l}
x\\y\\z
\end{array}
\right)$ ; $\vec{v}\left(\begin{array}{l}
x’\\y’\\z’
\end{array}
\right)$ on a :

$\vec{u}=x\vec{i}$ $+$ $y\vec{j}$ + $z\vec{k}$ ; $\vec{v}=x’\vec{i}$ + $y’\vec{j}$ + $z’\vec{k}$

$\vec{u}\land{\vec{v}}$ = $( x\vec{i}+ y\vec{j}$ + $z\vec{k})\land{( x’\vec{i} + y’\vec{j} + z’\vec{k})}\\$

$\vec{u}\land{\vec{v}}$ = $xx’(\vec{i}\land{\vec{i}})$ + $xy’(\vec{i}\land{\vec{j}})$ + $xz’(\vec{i}\land{\vec{k}})\\$

+ $yx’(\vec{j}\land{\vec{i}})$ + $yy’(\vec{j}\land{\vec{j}})$ + $yz’(\vec{j}\land{\vec{k}})\\$

+ $zx’(\vec{k}\land{\vec{i}})$ + $zy’(\vec{k}\land{\vec{j}})$ + $zz’(\vec{k}\land{\vec{k}})
$
On a :

$\vec{i}\land{\vec{i}}=0 ;\;$  $\vec{j}\land{\vec{j}}=0 ;\;$  $\vec{k}\land{\vec{k}}=0$

$\vec{u}\land{\vec{v}}=xy’\vec{k}$ - $xz’\vec{j}+ yx’\vec{(-k)}$ + $yz’\vec{i}$ + $zx’\vec{(j)}$ + $zy’\vec{(-i)}$

$\vec{u}\land{\vec{v}}$ = $xy’\vec{k}$ - $xz’\vec{j}$ - $yx’\vec{k}$ + $yz’\vec{i}$ + $zx’\vec{j}$ - $zy’\vec{i}$

$\vec{u}\land{\vec{v}}$ = $(xy’-yx’)\vec{k}$ + $(-xz’+zx’)\vec{j}$ + $(yz’-zy’)\vec{i}$.

Donc
$\mathbf{\vec{u}\land{\vec{v}}\left(\begin{array}{l}

yz’-zy’\\-xz’+zx’\\xy’-yx’

\end{array}
\right)}$
La disposition du déterminant $\mathbf{\left[\begin{array}{cc} a&b \\ a'&b’ \end{array}\right]=ab’-a'b}$ permet d’avoir la disposition pratique suivante pour calculer les coordonnées du produit vectoriel

$\vec{u}\land{\vec{v}}\left(\begin{array}{II}\left|\begin{array}{cc} y&z \\ y'&z’\end{array}\right|;\; \left|\begin{array}{cc} z&x \\ z'&x’\end{array}\right| ;\; \left|
\begin{array}{cc} x&y \\ x'&y’ \end{array}\right|\end{array}\right)$

$\vec{u}\land{\vec{v}}\left|\begin{array}{cc} y&z \\ y'&z’ \end{array}\right|\vec{i}+\left|\begin{array}{cc} z&x \\ z'&x’ \end{array}\right|\vec{j}+\left|\begin{array}{cc} x&y \\ x'&y’ \end{array}\right|\vec{k}$

IV.  Application de produit vectoriel à la géométrie

A.  Droite et plan

Points alignés
Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés équivaux à $\vec{AB}\land{\vec{AC}}$ ou $\vec{AB}\land{\vec{BC}}=\vec{0}$.
$M\in{(AB)}$<=>$\vec{AM}\;col\;\vec{AB}$<=>$\vec{AM}\land{\vec{AB}}=\vec{0}$
Points coplanaires (appartient au même plan)
Trois points $A$, $B$ et $C$ non alignés de l’espace déterminent un plan où $\vec{AB}\land{\vec{AC}}$ est normal au plan $ABC$
$M\in{ABC}<=>\vec{AM}\perp{\vec{AB}\land{\vec{AB}}}$ par consequent, $(\vec{AB}\land{\vec{AC}}).\vec{AM}=0$. Ce résultat permet de déterminer l’équation d’un plan déterminé par trois points non alignés ou dans un repère $(A ;\;\vec{u} ;\;\vec{v})$.
L’équation d’un plan est de type
$(ABC)$ : $\mathbf{ax+by+cz+d=0}$ où le vecteur normal au plan $(ABC)$
$\vec{n}\left(\begin{array}{cc} a \\ b\\c \end{array}\right)$
Avec
$\vec{n}=\vec{u}\land{\vec{v}}\\=\vec{AB}\land{\vec{AC}}$

Propriétés

Soit $(P_1)$ et $(P_2)$ deux plans de l’espace et $(D)$ une droite de vecteur directeur $\vec{u} ;\;\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ les vecteurs normaux respectifs de $(P_1)$ et $(P_2)$. On a :
$(P_1)//(P_2) $ $<=> \vec{n_1}\;col\;\vec{n_2}\\<=>\vec{n_1}\land{\vec{n_2}}=\vec{0}$
$(P_1)\perp{(P_2)}$ $<=>\vec{n_1}\perp{\vec{n_2}}\\<=>\vec{n_1}.\vec{n_2}=\vec{0}$
$(D)//(P_2)$ $<=>\vec{n_2}\perp{\vec{u}}\\<=>\vec{n_2}.\vec{u}=\vec{0}$
$(D)\perp{(P_2)}\\<=>\vec{n_2}\;col\;\vec{u}\\<=>\vec{u}\land{\vec{n_2}}=\vec{0}$

B.  Distance, aire, volume

1.  Distance

Dans un repère orthonormé direct de l’espace $(0,\;\vec{i},\;\vec{j},\;\vec{k})$ on a :

  - Distance de deux points
Soient $A(x_A ;\;y_A ;\;z_A)$ et $B(x_B ;\;y_B ;\;z_B)$
La distance $AB=$ $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_B)^2+(z_B-z_A)^2}$

  - Distance d’un point à une droite


Soit $(D)$ la droite dirigée par $\vec{u}$ avec $\vec{u}=\vec{AB}$. On a distance du point $M$ à la droite $(D)$ égale à la distance $(MH)$ ; $H$ étant le projeté orthogonal de $M$ sur $(D)$.
On a : $\vec{MA}$ = $\vec{MH}$ + $\vec{HA}$ => $\vec{MH}$ = $\vec{MA}$ - $\vec{HA}$
Calculons $\vec{MA}\land{\vec{AB}}$
$\vec{MA}\land{\vec{AB}}$ $= (\vec{MH} + \vec{HA})\land{\vec{AB}}\\= \vec{MH}\land{\vec{AB}} + \vec{HA}\land{\vec{AB}}$

or ;
$\vec{HA}\;col\;\vec{AB}$
De plus

$||\vec{MA}\land{\vec{AB}}||$ $=||\vec{MH}\land{\vec{AB}}||$
$||\vec{MA}\land{\vec{AB}}|| $ $= ||\vec{MH}||.||\vec{AB}||\sin{(\hat{\vec{MA} ;\vec{AB}})}$
$\Leftrightarrow \vec{MH}$ = $\frac{ ||\vec{MA}\land{\vec{AB}}|| }{ ||\vec{AB}\sin{(\hat{\vec{MA}; \vec{AB}})} || }$
or

$(\widehat{\vec{MH}; \vec{AB}}) = \pm{\frac{\pi}{2}}$
$d(M;\;(D))$ $= \vec{MH} \\= \frac{||\vec{MA}\land{\vec{AB}}||}{||\vec{AB}||} \\= \frac{||\vec{MA}\land{\vec{u}}||}{||\vec{u}||}$

  • Distance d’un point au plan


Soit $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés et $M$ un point de l’espace. Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ dans le plan $(ABC)$ et $\vec{n}$ un vecteur normal du plan $(ABC)$ on a :

$\vec{AM}=\vec{MH}+\vec{HA}$
Calculons
$\vec{MA}.\vec{n}=(\vec{MH}+\vec{HA}).\vec{n}\\=\vec{MH}\vec{n}+\vec{HA}.\vec{n}$
or $\vec{HA}\perp{\vec{n}}$

Donc $\vec{HA}.\vec{n}=0$

$\vec{MH}.\vec{n}=MH.\vec{n}$ car $(\widehat{\vec{MH} ;\vec{n}})=0$
d’où $MH=$ $\frac{|\vec{MA}.\vec{n}|}{||\vec{n}||}=\frac{|\vec{MA}.(\vec{AB}\land{AC})|}{||\vec{AB}\land{\vec{AC}}||}$
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct, si $(P)$ a pour équation $ax+by+cz+d=0$ alors la distance de $(P)$ au point $M(x_0 ;\ ;y_0 ;\ ;z_0)$ est :
${d(M,(P))=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$
${d(M\ ;(ABC))=\frac{||\vec{MA}.(\vec{AB}\land{\vec{AC}})||}{||\vec{AB}\land{\vec{AC}}||}}$

2.  Aire

  • Aire du triangle

    $Aire (ABC)$ $=\frac{1}{2}H\times{base}\\=\frac{1}{2}\frac{||\vec{BA}\land{\vec{AC}}||}{||\vec{AC}||}\times{\vec{AC}}$
    $Aire (ABC)=\frac{1}{2}||\vec{BA}\land{\vec{AC}}||$

  • Aire du parallélogramme

    $Aire (ABCD)$$=2A(ABC)\\=||\vec{AB}\land{\vec{AC}}||$

3.  Volume

  • Parallélépipède
    $V=S_{base}\times{h}=>S_{base}\times{h}$
    $V=||\vec{AB}\land{\vec{AC}}||\times{\frac{|\vec{AH}.(\vec{AB}\land{\vec{AC}})|}{||\vec{AB}\land{\vec{AC}}||}}$
    $V=|\vec{AH}.(\vec{AB}\land{\vec{AC}})|$
  • Tétraède
    $\frac{1}{3}S_b\times{h}$