Chapitre 9: Géométrie dans l’espace - Mathématiques Terminale D | DigiClass
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Géométrie dans l’espace

I.  Orientation d’un repère dans l’espace

A.  Description expérimentale

 Considérons dans l’espace $(E)$ un repère $(o,\;\vec{i},\;\vec{j},\;\vec{k})$ les demi-droites $[ox)$, $[oy)$ et $[oz)$ de vecteur directeur respectifs $\vec{i},\;\vec{j},\;et\;\vec{k}$.
Soit $\vec{i},\;\vec{j},\;\vec{k}$ les points définis par les vecteurs $o\vec{i} =\vec{i}$, $o\vec{j} =\vec{j}$ et $o\vec{k} =\vec{k}$, un observateur noté $DG$ est apte à distinguer sa gauche de sa droite est placé sur $oz$ les pièces en $o$ et la tête en $k$ et le point $i$ droit devant lui.
Sur la figure 1,
- le point est à gauche de l’observation. Toutes figures de ce type auront la même représentation sur la $\delta{_2}$
- le point $J$ est à droite de l’observateur. Les figures de ce type auront les mêmes représentations.
Ceci permet alors de partager l’ensemble des repères de l’espace en deux parties expérimentalement

B.  Définition

Définition 1

Un repère $(o, \vec{i},\;\vec{j},\;\vec{k})$ de l’espace est qualifié de direct lorsqu’il est du premier type.
un repère du deuxième type est dit repère indirect.
Remarque : il s’agit de la convention usuelle en physique appelée bonhomme d’ampère.

Définition 2

Orienter un repère c’est dire s’il est direct ou indirect.

II.  Calcul vectoriel

A.  Vecteur et plan de l’espace

1.  Vecteur direct d’un plan

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires du plan $P$. $A$ tout point $M$ de $P$, il existe alors deux réels $x$ et $y$ tel que $O\vec{M}= x\vec{u}\; +\; y\vec{v}$ alors les vecteurs $\vec{u}$et $\vec{v}$ sont appelés vecteurs directs du plan $P$.

2.  Vecteur coplanaire

Soient $\vec{u}, \vec{v}\; et\; \vec{w}$ trois vecteurs de l’espaces et $A$ un point donné, les points $B$, $C$ et $D$ sont tel que $\vec{AB} = \vec{u}\; ; \vec{AC} = \vec{v} \;et\; \vec{AD} = \vec{w}$ ; on dit que $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $w$ sont coplanaires respectivement les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires s’il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tel que des vecteurs puissent s’écrire comme une combinaison linéaire des deux autres c’est-à-dire $\mathbf{\vec{u} = \alpha{\vec{v}} +\beta{\vec{w}}}$ ou $\mathbf{\vec{AB} = \alpha{\vec{AC}} +\beta{\vec{AD}}}$

3.  Base de repère de l’espace

Le triplet $(\vec{i},\;\vec{j},\;\vec{k})$ de l’espace, de vecteur non colinéaire est dit une base de l’espace. Dans le repère $(\vec{i},\;\vec{j},\;\vec{k})$ de l’espace, un point $M$ à pour coordonnées $(x, y, z)$ et le vecteur $O\vec{M} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$

Exemple

Représentation du point $M(x,\;y,\;z)$

 

4.  Calcul dans une base de l'espace

Soient $A(x_A;\;y_A;\;z_A)$ et $B(x_B;\;y_B;\;z_B)$ deux points de l'espace, $\vec{u}(x;\;y;\;z)$ et $\vec{v}(x';\;y';\;z')$ deux vecteurs non nuls dans la base $(\vec{i};\;\vec{j};\;\vec{k})$ de l'espace.
On a:
$\mathbf{\vec{AB}\left(\begin{array}{II} x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_B \end{array}\right)}$; $\mathbf{\alpha{\vec{u}}\left(\begin{array}{II} \alpha{x}\\\alpha{y}\\\alpha{z} \end{array}\right)}$ ; $\mathbf{(\vec{u}+\vec{v})\left(\begin{array}{II} x+x'\\y+y'\\z+z' \end{array}\right)}$.

B.  Produit scalaire

1.  Définition et règle de calcul

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls de l’espace. On appelle produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ le nombre réel défini par ${\vec{u}.\vec{v}= ||\vec{u}||.||\vec{v}||.\cos{(\vec{u};\vec{v})}}$

Remarque

Lorsque : $\vec{u}$ perpendiculaire à $\vec{v}$ => $(\widehat{\vec{u},\vec{v}})=\pm{\frac{\pi}{2}}$
$=>\cos{(\widehat{\vec{u},\vec{v}})}=0$
$=>\vec{u}.\vec{v}=\vec{0}$
$\vec{u}$ colinéaire à $\vec{v}$ :
$=>(\widehat{\vec{u},\vec{v}})=0=>cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})=1$
$=>\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||.||\vec{v}||$
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaire et de même sens.
$(\widehat{\vec{u},\vec{v}})=\pi=>\cos{(\widehat{\vec{u},\vec{v}})}=-1$
$=>\vec{u}.\vec{v}=-||\vec{u}||.||\vec{v}||$
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaire et de sens contraire. Les règles de calcul de produit scalaire dans le plan sont les mêmes que dans l’espace.
On a:
$\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$
$\vec{u}^2=||\vec{u}||^2$
$\vec{u}.\vec{v}=0<=>\vec{u}\perp{\vec{v}}$
$\alpha{\vec{u}(\vec{v})}=\alpha{(\vec{u}.\vec{v})}$
$\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$

2.  Expression analytique du produit scalaire

Dans une base orthonormée de l’espace
$(\vec{i},\; \vec{j},\; \vec{k})\; est\; orthonormé \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
||\vec{i}||=||\vec{j}||=||\vec{k}||=1\\
\vec{i}.\vec{j}=0;\;\vec{j}.\vec{k}=0;\;\vec{k}.\vec{i}=0
\end{array}
\right.$
Soit $\vec{u}\left(\begin{array}{cc} x \\ y \\z \end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{cc} x' \\ y' \\z' \end{array}\right)$ deux vecteurs de l'espace, on a :
$\mathbf{||\vec{u}||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$; $\vec{u}^2=||\vec{u}||^2=x^2+y^2+z^2$
$\mathbf{\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'}$

III.  Produit vectoriel

A.  Définition

1.  Avec trois points non alignés

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés de l’espace. Le produit vectoriel de vecteur $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ dans cet ordre est le vecteur $\vec{AD}$ défini par les trois conditions :

  • La droite $(AD)$ perpendiculaire au plan $A,\; B,\; C$ ;
  • Le repère $(A, \vec{AB},\;\vec{AC},\;\vec{AD})$ est direct ;
  • La longueur du $[AD]$ est tel que $AD = AC.AB.\sin{(B\hat{A}C)}$.

Le vecteur $\vec{AD}$ produit vectoriel de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ dans cet ordre est noté $\mathbf{\vec{AD}=\vec{AB}\land{\vec{AC}}}$ ou $\mathbf{\vec{AD}=\vec{AB}\times{\vec{AC}}}$

2.  Avec trois (03) points alignés

Si trois points $A,\; B,\; C$ sont alignés, le produit vectoriel de $\vec{AB},\;\vec{AC}$ est nul $(\vec{0}).$
$A,\; B,\; C$ sont alignés <=>$\vec{AB}\land{\vec{AC}}=\vec{AD} = AB.AC\sin{(B\hat{A}C)}.\vec{a}$.
$A,\; B\; et\; C$ sont alignés =>$\vec{AB}$ colinéaire à $\vec{AC}$
$(\hat{\vec{AB},\vec{AC}})=0$ ou $(\hat{\vec{AB},\vec{AC}})=\pi$ d'où $\mathbf{\sin(\hat{\vec{AB},\vec{AC}})=\sin{(B\hat{A}C)}=0}$ par consequent
$\vec{AD}=AB.AC\times{0}.\vec{a}=\vec{0}$

3.  Produit vectoriel de deux vecteurs

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs de l’espace. Etant donné un point $A$. on construit les points $B$ et $C$ tel que
$\vec{u}=\vec{AB},\;\vec{v}=\vec{AC}$. Le produit vectoriel de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans cet ordre est le vecteur $\vec{AB}\land{\vec{AC}}$ et
on note : $\mathbf{\vec{u}\land{\vec{v}}}$.
Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaire, on a :
$\mathbf{(\vec{u},\;\vec{v},\;\vec{u}\land{\vec{v}})}$ est une base orthogonale directe.

B.  Les propriétés du produit vectoriel

1.  Propriétés premières

Théorème1

Etant donné deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ leur vectoriel est vecteur orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$

Théorème2

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\mathbf{\vec{u}\land{\vec{v}}=0}$

Théorème3

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont de vecteurs unitaires et orthogonaux alors $\mathbf{(\vec{u};\; \vec{v};\;\vec{u}\land{\vec{v}})}$ est une base orthogonale directe.

Théorème4

Si $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ est une base orthogonale directe, alors $\mathbf{\vec{w}=\vec{u}\land{\vec{v}}}$

2.  Les règles de calcul

  • Asymétrie de produit vectoriel : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ étant deux vecteurs, on a :
    $\mathbf{\vec{u}\land{\vec{v}}} $ $=-\mathbf{\vec{v}\land{\vec{u}}}$
  • Bilinéarité de produit vectoriel : soit $u,\;v$ et $w$ des vecteurs de l’espace $(\alpha \;et \;\beta)\in{\mathbb{R}}$.
    On a :
    • $\vec{u}\land{\alpha{\vec{v}}}=\alpha{(\vec{u}\land{v})}$ ou $(\alpha{\vec{u}})\land{\vec{v}}=\alpha{(\vec{u}\land{\vec{v}})}$

    • $(\alpha{+\beta{}})(\vec{u}\land{\vec{v}})$$=\alpha{(\vec{u}\land{\vec{v}})}+\beta{(\vec{u}\land{\vec{v}})}$

    • $\vec{u}\land{(\vec{v}+\vec{w})}=\vec{u}\land{\vec{v}}+\vec{u}\land{\vec{w}}$

3.  Coordonnées de produit vectoriel

Dans cette partie, l’espace est rapporté à un repère orthonormal direct $(o,\; i,\; j,\; k)$. on a :

$\vec{i}\land{\vec{j}}=\vec{k}$                                                            $\vec{i}\land{\vec{i}}=\vec{0}$

$\vec{j}\land{\vec{k}}=\vec{i}$                                                            $\vec{j}\land{\vec{j}}=\vec{0}$

$\vec{k}\land{\vec{i}}=\vec{j}$                                                             $\vec{k}\land{\vec{k}}=\vec{0}$

$\vec{j}\land{\vec{i}}=-\vec{k}$                                                           $\vec{i}\land{\vec{k}}=-\vec{j}$

$\vec{k}\land{\vec{j}}=-\vec{i}$

On considère dans le repère $(0,\;\vec{i},\;\vec{j},\;\vec{k})$ les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$

$\vec{u}\left(\begin{array}{l}
x\\y\\z
\end{array}
\right)$ ; $\vec{v}\left(\begin{array}{l}
x’\\y’\\z’
\end{array}
\right)$ on a :

$\vec{u}=x\vec{i}$ $+$ $y\vec{j}$ + $z\vec{k}$ ; $\vec{v}=x’\vec{i}$ + $y’\vec{j}$ + $z’\vec{k}$

$\vec{u}\land{\vec{v}}$ = $( x\vec{i}+ y\vec{j}$ + $z\vec{k})\land{( x’\vec{i} + y’\vec{j} + z’\vec{k})}\\$

$\vec{u}\land{\vec{v}}$ = $xx’(\vec{i}\land{\vec{i}})$ + $xy’(\vec{i}\land{\vec{j}})$ + $xz’(\vec{i}\land{\vec{k}})\\$

+ $yx’(\vec{j}\land{\vec{i}})$ + $yy’(\vec{j}\land{\vec{j}})$ + $yz’(\vec{j}\land{\vec{k}})\\$

+ $zx’(\vec{k}\land{\vec{i}})$ + $zy’(\vec{k}\land{\vec{j}})$ + $zz’(\vec{k}\land{\vec{k}})
$
On a :

$\vec{i}\land{\vec{i}}=0 ;\;$  $\vec{j}\land{\vec{j}}=0 ;\;$  $\vec{k}\land{\vec{k}}=0$

$\vec{u}\land{\vec{v}}=xy’\vec{k}$ - $xz’\vec{j}+ yx’\vec{(-k)}$ + $yz’\vec{i}$ + $zx’\vec{(j)}$ + $zy’\vec{(-i)}$

$\vec{u}\land{\vec{v}}$ = $xy’\vec{k}$ - $xz’\vec{j}$ - $yx’\vec{k}$ + $yz’\vec{i}$ + $zx’\vec{j}$ - $zy’\vec{i}$

$\vec{u}\land{\vec{v}}$ = $(xy’-yx’)\vec{k}$ + $(-xz’+zx’)\vec{j}$ + $(yz’-zy’)\vec{i}$.

Donc
$\mathbf{\vec{u}\land{\vec{v}}\left(\begin{array}{l}

yz’-zy’\\-xz’+zx’\\xy’-yx’

\end{array}
\right)}$
La disposition du déterminant $\mathbf{\left[\begin{array}{cc} a&b \\ a'&b’ \end{array}\right]=ab’-a'b}$ permet d’avoir la disposition pratique suivante pour calculer les coordonnées du produit vectoriel

$\vec{u}\land{\vec{v}}\left(\begin{array}{II}\left|\begin{array}{cc} y&z \\ y'&z’\end{array}\right|;\; \left|\begin{array}{cc} z&x \\ z'&x’\end{array}\right| ;\; \left|
\begin{array}{cc} x&y \\ x'&y’ \end{array}\right|\end{array}\right)$

$\vec{u}\land{\vec{v}}\left|\begin{array}{cc} y&z \\ y'&z’ \end{array}\right|\vec{i}+\left|\begin{array}{cc} z&x \\ z'&x’ \end{array}\right|\vec{j}+\left|\begin{array}{cc} x&y \\ x'&y’ \end{array}\right|\vec{k}$

IV.  Application de produit vectoriel à la géométrie

A.  Droite et plan

Points alignés
Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés équivaux à $\vec{AB}\land{\vec{AC}}$ ou $\vec{AB}\land{\vec{BC}}=\vec{0}$.
$M\in{(AB)}$<=>$\vec{AM}\;col\;\vec{AB}$<=>$\vec{AM}\land{\vec{AB}}=\vec{0}$
Points coplanaires (appartient au même plan)
Trois points $A$, $B$ et $C$ non alignés de l’espace déterminent un plan où $\vec{AB}\land{\vec{AC}}$ est normal au plan $ABC$
$M\in{ABC}<=>\vec{AM}\perp{\vec{AB}\land{\vec{AB}}}$ par consequent, $(\vec{AB}\land{\vec{AC}}).\vec{AM}=0$. Ce résultat permet de déterminer l’équation d’un plan déterminé par trois points non alignés ou dans un repère $(A ;\;\vec{u} ;\;\vec{v})$.
L’équation d’un plan est de type
$(ABC)$ : $\mathbf{ax+by+cz+d=0}$ où le vecteur normal au plan $(ABC)$
$\vec{n}\left(\begin{array}{cc} a \\ b\\c \end{array}\right)$
Avec
$\vec{n}=\vec{u}\land{\vec{v}}\\=\vec{AB}\land{\vec{AC}}$

Propriétés

Soit $(P_1)$ et $(P_2)$ deux plans de l’espace et $(D)$ une droite de vecteur directeur $\vec{u} ;\;\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ les vecteurs normaux respectifs de $(P_1)$ et $(P_2)$. On a :
$(P_1)//(P_2) $ $<=> \vec{n_1}\;col\;\vec{n_2}\\<=>\vec{n_1}\land{\vec{n_2}}=\vec{0}$
$(P_1)\perp{(P_2)}$ $<=>\vec{n_1}\perp{\vec{n_2}}\\<=>\vec{n_1}.\vec{n_2}=\vec{0}$
$(D)//(P_2)$ $<=>\vec{n_2}\perp{\vec{u}}\\<=>\vec{n_2}.\vec{u}=\vec{0}$
$(D)\perp{(P_2)}\\<=>\vec{n_2}\;col\;\vec{u}\\<=>\vec{u}\land{\vec{n_2}}=\vec{0}$

B.  Distance, aire, volume

1.  Distance

Dans un repère orthonormé direct de l’espace $(0,\;\vec{i},\;\vec{j},\;\vec{k})$ on a :

  - Distance de deux points
Soient $A(x_A ;\;y_A ;\;z_A)$ et $B(x_B ;\;y_B ;\;z_B)$
La distance $AB=$ $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_B)^2+(z_B-z_A)^2}$

  - Distance d’un point à une droite


Soit $(D)$ la droite dirigée par $\vec{u}$ avec $\vec{u}=\vec{AB}$. On a distance du point $M$ à la droite $(D)$ égale à la distance $(MH)$ ; $H$ étant le projeté orthogonal de $M$ sur $(D)$.
On a : $\vec{MA}$ = $\vec{MH}$ + $\vec{HA}$ => $\vec{MH}$ = $\vec{MA}$ - $\vec{HA}$
Calculons $\vec{MA}\land{\vec{AB}}$
$\vec{MA}\land{\vec{AB}}$ $= (\vec{MH} + \vec{HA})\land{\vec{AB}}\\= \vec{MH}\land{\vec{AB}} + \vec{HA}\land{\vec{AB}}$

or ;
$\vec{HA}\;col\;\vec{AB}$
De plus

$||\vec{MA}\land{\vec{AB}}||$ $=||\vec{MH}\land{\vec{AB}}||$
$||\vec{MA}\land{\vec{AB}}|| $ $= ||\vec{MH}||.||\vec{AB}||\sin{(\hat{\vec{MA} ;\vec{AB}})}$
$\Leftrightarrow \vec{MH}$ = $\frac{ ||\vec{MA}\land{\vec{AB}}|| }{ ||\vec{AB}\sin{(\hat{\vec{MA}; \vec{AB}})} || }$
or

$(\widehat{\vec{MH}; \vec{AB}}) = \pm{\frac{\pi}{2}}$
$d(M;\;(D))$ $= \vec{MH} \\= \frac{||\vec{MA}\land{\vec{AB}}||}{||\vec{AB}||} \\= \frac{||\vec{MA}\land{\vec{u}}||}{||\vec{u}||}$

  • Distance d’un point au plan


Soit $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés et $M$ un point de l’espace. Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ dans le plan $(ABC)$ et $\vec{n}$ un vecteur normal du plan $(ABC)$ on a :

$\vec{AM}=\vec{MH}+\vec{HA}$
Calculons
$\vec{MA}.\vec{n}=(\vec{MH}+\vec{HA}).\vec{n}\\=\vec{MH}\vec{n}+\vec{HA}.\vec{n}$
or $\vec{HA}\perp{\vec{n}}$

Donc $\vec{HA}.\vec{n}=0$

$\vec{MH}.\vec{n}=MH.\vec{n}$ car $(\widehat{\vec{MH} ;\vec{n}})=0$
d’où $MH=$ $\frac{|\vec{MA}.\vec{n}|}{||\vec{n}||}=\frac{|\vec{MA}.(\vec{AB}\land{AC})|}{||\vec{AB}\land{\vec{AC}}||}$
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct, si $(P)$ a pour équation $ax+by+cz+d=0$ alors la distance de $(P)$ au point $M(x_0 ;\ ;y_0 ;\ ;z_0)$ est :
${d(M,(P))=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$
${d(M\ ;(ABC))=\frac{||\vec{MA}.(\vec{AB}\land{\vec{AC}})||}{||\vec{AB}\land{\vec{AC}}||}}$

2.  Aire

  • Aire du triangle

    $Aire (ABC)$ $=\frac{1}{2}H\times{base}\\=\frac{1}{2}\frac{||\vec{BA}\land{\vec{AC}}||}{||\vec{AC}||}\times{\vec{AC}}$
    $Aire (ABC)=\frac{1}{2}||\vec{BA}\land{\vec{AC}}||$

  • Aire du parallélogramme

    $Aire (ABCD)$$=2A(ABC)\\=||\vec{AB}\land{\vec{AC}}||$

3.  Volume

  • Parallélépipède
    $V=S_{base}\times{h}=>S_{base}\times{h}$
    $V=||\vec{AB}\land{\vec{AC}}||\times{\frac{|\vec{AH}.(\vec{AB}\land{\vec{AC}})|}{||\vec{AB}\land{\vec{AC}}||}}$
    $V=|\vec{AH}.(\vec{AB}\land{\vec{AC}})|$
  • Tétraède
    $\frac{1}{3}S_b\times{h}$