User Picture
Vous

CONDENSATEUR

I.  Généralité

A.  Définition et symbole du condensateur

Un condensateur est un ensemble formé de deux surfaces conducteurs (ou armatures) face à  face séparées par un isolant (ou diélectrique)

Si les armatures sont planes et parallèles, le conducteur est plan.

La représentation symbolique du conducteur est:

B.  Capacité du conducteur

La charge d’un conducteur est proportionnelle à la tension U appliquée entre armateur. Le coefficient de proportionnalité entre Q et U est capacité C du conducteur.

Dans le système international (SI), la capacité du conducteur s’exprime en Farad (F)

$Q=CU$ ↔ $C=\frac{Q}{U}$

Avec : Q en coulomb (C) ; U en volt(V) et C en Farad (F)

Remarque :

  • Si le conducteur est plan sa capacité C est :

$C=\frac{Ɛ_{O}Ɛ_{r}.S}{d}$

Avec S : surface d’une des armateurs

D : distance qui sépare les armateurs

$Ɛ_{O}$ : permittivité du vide ou de l’air

$Ɛ_{r}$ : permittivité  relative du diélectrique

$Ɛ_{O}=8,85.10^{-2}SI$

Si l’isolant est l’air ou U vide alors $Ɛ_{r}=1$

  • Les armateurs d’un conducteur chargé portent des charges égales en valeur absolue et de signes opposés.

On appelle charge de conducteur la valeur absolue de l’une d’entre elle.

 

$Q=|q_{A}|=|q_{B}|$

C.  Condensateur : un réservoir d’énergie

1.  Mise en évidence expérimentale de l’énergie stockée par un condensateur

 

  • On ferme K1 en laissant K2 ouvert :

Le condensateur se charge. A la fin de la charge $U_{C}=U_{G}$

Cette valeur est indiquée par le voltmètre

  • On ferme K2 en ouvrant K1 

Le condensateur se décharge car le voltmètre indique une tension <$ U_{G}$. Pendant ce temps, le moteur placé dans le circuit se met à tourner.

On peut donc dire qu’un condensateur est un dipôle qui stock de l’énergie lors de sa charge et la restitue lors de sa décharge.

2.  Expression de l’énergie stockée

Pour un condensateur de capacité C chargé sous une tension U, l’énergie stockée est :

$E=\frac{1}{2}CU^{2}$

  • Autre formule

$Q=C.U$

$E=\frac{1}{2}CU^{2}$ → $E=\frac{1}{2}QU$

$E=\frac{1}{2}.\frac{Q^{2}}{C}$

Exercice d’application

  1. déterminer l’énergie stockée par un condensateur de capacité C = 20uF lorsqu’il est chargé sous une tension de 20V.
  2. On décharge ce condensateur dans un moteur électrique pouvant servir à élever une charge de 10kg.

A quelle hauteur la charge s’élève-t-elle si le rendement de l’opération est de 80%.

On prendra g=10N/kg.

II.  Réaction tension-Intensité

Cette relation intéresse la grandeur électrique instantanée à savoir l’intensité instantanée i et la tension instantanée u.

L’intensité i arrive sur l’armature A donc on par convention $i>0$ ; $q_{A}>0$ ; on a aussi $U>0$

Entre les instants t et $t+dt$, la charge de l’armature varie de $q$ à $q+dq$.

Si $q=it$ on peut écrire $dq=idt$ → $i=\frac{dq}{dt}$

Or $q=Cu$ donc $dq=Cdu$

On a $i=C\frac{du}{dt}$

Cette relation est appelée relation tension –intensité pour un condensateur.

III.  Charge et décharge d'un condensateur à travers une resistance

A.  Dispositif expérimental

Ce circuit un condensateur de capacité C monté en série avec une résistance R. l’ensemble est alimenté par un GBF (Générateur Basse Fréquence) qui délivre une tension en créneaux qui prend successivement les valeurs O et E (force électromotrice)

Un oscilloscope bi courbe permet de visualiser :

  • Sur la voie Y1, la tension aux bornes du générateur
  • Sur la voie Y2, la tension aux bornes du conducteur

Remarque :

Un oscilloscope permet de mesurer la tension.

Pour visualiser la tension $U_{MN}$ à l’aide d’un oscilloscope :

  • Relier le point M à la voie
  • Relier le point N à la voie

B.  Observation

C.  Interprétation

- Pendant la charge du condensateur

  • La tension génératrice est

$U_{DE}=E$

  • La tension aux bornes du conducteur croit puis se stabilise à E
  • La charge du conducteur croit
  • Le courant circule de D vers A. on a $i>0$ et $U_{DA}=Ri>0$
  • Pendant la décharge du conducteur
  • La tension aux bornes du générateur est nulle $U_{DE}=0$
  • La tension aux bornes du condensateur décroit puis s’annule
  • La charge du condensateur décroit
  • Le courant circule de A vers D. on a $i<0$ et $U_{DA}=Ri<0$

$i<0$ et $U_{DA}=Ri<0$

- Complément sur la charge du condensateur

  • Début de charge

$U_{G}=E=Rio$

$U_{C}=0$

- Pendant la charge

$U_{C}=E-Ri=E(1-e^{\frac{-t}{RC}})$

$q_{C}=C.E(1-e^{\frac{-t}{RC}})$

  • A la fin de la charge

$U=E$

$q=C.E$

D.  Aspect énergétique

Pendant la charge, l’énergie électrique reçue par le condensateur est stockée sous forme d’énergie électrostatique.

A la décharge, l’énergie stockée est restituée mais sera perdue pour le circuit car dissipée par l’effet joule par le conducteur ohmique.

IV.  Condensateur en regime Sinoidal forcé

A.  Dispositif expérimental

 

 

La voie Y1 de l’oscilloscope permet de visualiser la tension $U_{AB}$ aux bornes du condensateur

La voie Y2 est inversée permet de visualiser la tension $U_{BD}$ aux bornes de la résistance. Ce qui permet de visualiser l’intensité du courant i car  $i=\frac{U_{BD}}{R}$  

$R=cte$

B.  Observation

  • U et i sont des fonctions sinusoïdales du temps de même période mais pas de même phase
  • Lorsque la tension est maximale ou minimale aux bornes du condensateur, l’intensité est nulle et vice versa. On dit que i et u sont en quadrature de phase.

C.  Interprétation

On choisit l’origine des dates de telle sorte que la phase à l’origine de l’intensité soit nulle. Et celle de la tension différente de O.

$i=Imcoswt$

$Qi=0$ ; $Qu=Q≠0$

$u=U_{m}cos(wt+q)$

Avec $w=2∏N$

$N=\frac{1}{T}$

Si l’on pose $i=\frac{dq}{dt}$ ↔ $dq=idt$

$Q=\int∫dq=∫idt=∫Imcoswtdt=\frac{Im}{w}sinwt$

$q=\frac{Im}{w}cos(wt-\frac{∏}{2})$

  • On sait que $q=Cu$ → $u=\frac{q}{C}$

On a $u=\frac{Im}{Cw}cos(wt-\frac{∏}{2})$

  • Comme $u=Umcos(wt+Q)$ ; on a alors

$Um=\frac{Im}{Cw}$ et $Q=-\frac{∏}{2}$         (identification)

  • Déphasage entre u et i

$ΔQ=Q_{u}-Q_{i}$

$ΔQ=Q-O=\frac{∏}{2}$

$ΔQ=\frac{-∏}{2}$

  • comme $ΔQ<0$ : on dit que la tension est en retard sur l’intensité de $\frac{∏}{2}$

L’intensité i atteint sa valeur maximale avant la tension.

V.  La constante de temps

La constante de temps est le temps nécessaire pour qu’un condensateur soit chargé ou déchargé à 63% de sa charge maximale.

L’expression de la constante de temps est

$ᵹ=R.C$

La constante de temps a une dimension du temps.

On peut montrer cela par analyse dimensionnelle

$U=RI$ et $Q=It$

$R=\frac{U}{I}$ et $C=\frac{Q}{U}$

$[R]=\frac{[U]}{[I]}$ et $[C]=\frac{[Q]}{[U]}=\frac{[I].[T]}{[U]}$

$[C]=[R].[C]=\frac{[U]}{[I]} x \frac{[I].[T]}{[U]}$

$[ᵹ]=[T]$

A 63% :ᵹ = T

A 95% :ᵹ = 3T