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Suites numériques

I.  Rappels

A.  Définition

 On appelle suite numérique, toute fonction dont l'ensemble de définition est $\mathbf{\mathbb{N}}$ et à valeur dans $\mathbf{\mathbb{R}}$
$\mathbf{U:\;\mathbb{N}\to{\mathbb{R}}\\\;n\mapsto{U_n}}$
$\mathbf{U_n}$ est le terme général de la suite $\mathbf{U}$, on l'appelle aussi le terme d'indice $n$ et on note $\mathbf{(U_n)}$, $n\in{\mathbb{N}}$

B.  Mode de génération

Une suite peut être définie de deux façons.


Première façon : formule explicite

 On donne l'expression générale à partir duquel l'on peut calculer les autres termes.

Exemple

$U_n=2n^2-75n+1000$
$U_1=927$
$W_n=\large{\frac{\ln{(n)}}{n-1}}$, $n>1=>W_2=\ln{2}$

 

Deuxième façon: formule de recurrence

On fixe le premier terme et les autres termes se déduisent par une relation de recurrence.

Exemple

$V:\left\{\begin{array}{II}V_0=-3\\V_{n+1}=3V_n-1\end{array}\right.$

$V_1=V_0+1\\V_1=3V_0-1\\V_1=3(-3)-1\\V_1=-10$
$V_2=-31$

C.  Etude d'une suite

1.  Sens de variation d'une suite

 Soit $\mathbf{U}$ une suite.

  • On dit que $\mathbf{U}$ est croissante à partir d'un certain rang $\mathbf{p}$
    si $\forall{n}\ge{p}$; $\mathbf{U_{n+1}\ge{U_n}}$
  • On dit que $\mathbf{U}$ est décroissante
    si $\forall{n}\in{\mathbb{N}}$, $\mathbf{U_{n+1}\le{U_n}}$ c'est-à-dire $\mathbf{U_{n+1}-U_n\le{0}}$
  • On dit que $\mathbf{U}$ est constante
    si $\forall{n}\in{\mathbb{N}}$, $\mathbf{U_{n+1}={U_n}}$
Exemple

 Soit la suite $U$ définie pour $n\ge{2}$ par $U_n=\sqrt{n-2}$
Etudier la monotonie de $U_n$
        Solution
$n\ge{2}$ par $U_n=\sqrt{n-2}$       Sur   $[2;\;+\infty[$

$\forall{n}\ge{2}$; $n\le{n+1}$

$=>n-2\le{n+1-2}\\=>\sqrt{n-2}\le{\sqrt{(n+1)-2}}\\=>U_n\le{U_{n+1}}\\=>U_{n+1}-U_n\ge{0}$

d'où $U_n$ croit.

Posons $f(x)=\sqrt{x-2}$

$f(x)$ est définie et dérivable sur $[2;\;+\infty[$

$f':[2;\;+\infty[\to{\mathbb{R}}\\et\;x\mapsto{f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}}$

$\forall{x}\in{[2;\;+\infty[}$; $f'(x)\ge{0}$ donc $f$ croit

2.  Suite majorée, minorée et bornée

 Soit $\mathbf{U}$ une suite numérique.

  • On dit que $U$ est majorée s’il existe un réel supérieur à tous les termes de la suite, c’est-à-dire
    $\forall{n}\in{\mathbb{N}}$ ; $\mathbf{U_n\le{M}}$ : $\mathbf{M}$ est dite majorée
  • On dit que $U$ est minorée s’il existe un réel inférieur à tous les termes de la suite, c’est-à-dire
    $\forall{n}\in{\mathbb{N}}$ ; $\mathbf{U_n\ge{m}}$ : $\mathbf{m}$ est dite minorée
  • On dit que $U$ est bornée si elle est à la fois minorée et majorée, c’est-à-dire
    $\forall{n}\in{\mathbb{N}}$ ; $\mathbf{m\le{U_n}\le{M}}$ : $\mathbf{M}$ est dite majorée.
Exemple

On pose $\forall{n}\le{1}$, $v_n=1+\frac{2}{n}$
Montrer que $v_n$ est bornée

Solution
Démontrons que $v_n$ est bornée

- Démontrons que $v_n$ est majorée
$v_n=1+\frac{1}{n}$ ; on a $n\ge{1}$
$n\ge{1}=>\frac{1}{n}\le{1}\\=>\frac{2}{n}\le{2}\\=>1+\frac{2}{n}\le{3}$
$v_n\le{3}$ donc $v_n$ est majorée et son majorant est $M=3$
- Démontrons que $v_n$ est minorée
$v_n=1+\frac{2}{n}$ ; $n\ge{1}$ ; $0<1$
$0<n=>0<\frac{2}{n}=>1<1+\frac{2}{n}$
$1\le{v_n}$ donc $v_n$ est minorée et le minorant est $m=1$
On a $v_n$ est minorée et majorée donc $v_n$ est bornée

3.  Suite adjacente et suite périodique

Soient $U$ et $V$ deux suites tel que $U$ soit croissante et $V$ soit décroissante
Si $\mathbf{\lim\limits_{{n\to{\infty}}}U_n-V_n=0}$ alors $U$ et $V$ sont dites adjacentes
Une suite $U$ est dite périodique de période $p$, $p\in{\mathbb{N^*}}$ ;
si $\forall{n}\in{\mathbb{N}}$ ; $\mathbf{U_{n+p}=U_n}$

D.  Suites géométriques et suites arithmétiques

1.  Définition

Définition1

Soit $U$ une suite définie $\forall{n}\in{\mathbb{N}}$ de terme général  $U_n$. On dit que la suite $U$ est arithmétique s’il existe un réel $r$ tel que $\forall{n}\in{\mathbb{N}}$ : $\mathbf{U_{n+1}=U_n+r}$ , $\mathbf{r}$ est la raison de la suite arithmétique.

Définition2

Soit $V$ une suite définie $\forall{n}\in{\mathbb{N}}$ de terme général de $V_n$. On dit que la suite $V$ est géométrique s’il existe un réel $q$ tel que $\forall{n}\in{\mathbb{N}}$ : $\mathbf{V_{n+1}=qV_n}$ , $\mathbf{q}$ est la raison de la suite géométrique

2.  Propriétés

  S. arithmetiques S. géometriques
Forme récurrente $u_{n+1}=u_n+r$ $u_{n+1}=u_n.q$ $(q\ne{0})$
Forme explicite $u_n=u_0+nr=u_k+(n-k)r$ $u_n=q^n.u_0=q^{n-k}.u_k$
(a,b,c) non nuls consécutifs $a+c=2b$ $a.c=b^2$
$\mathbf{S=u_0+u_1+.....+u_n}$

$S=\frac{n+1}{2}(u_0+u_n)$

$S=\frac{(1^{er}T+derT)(nb\; de \;termes)}{2}$

$S=\frac{u_0(1-q^{n+1})}{1-q}$  $q\ne{1}$

$S=\frac{1^{er}T- (derT*raison)}{(1-raison)}$

Remarques

Si $V_n$ est une suite geométrique de raison $q$, on a :
$\rightarrow{\mathbf{q>1}}$, $\mathbf{V_n}$ est croisante et limite de $\mathbf{V_n=\infty}$
$\rightarrow{\mathbf{|q|<1}}$, $\mathbf{V_n}$ est décroissante et converge vers $\mathbf{0}$

 

E.  Limites aux suites

Propriété

Les règles opératoires sur les limites des fonctions numériques peuvent être appliquées de la même façon pour le calcul des limites des suites
Soit $\mathbf{U_n}$ une suite de type $\mathbf{U_{n+1}=f(U_n)}$
-Si $\mathbf{\lim\limits{U_n}=\ell}$ alors $\mathbf{\lim\limits{f(U_n)}=\ell}$
-Si $\mathbf{U_n}$ est convergente à partir d’un certain rang et $U_n$ converge vers $0$, on a :
$\mathbf{|U_n-\ell|\le{V_n}}$ alors $\mathbf{V_n=0}$

II.  Raisonnement par récurrence

Principe

Soit $P_n$ une proposition ou une propriété qui dépend de l’entier naturel $n$ ; $n_0\in{\mathbb{N}}$ ; démontrer que $\forall{n}\ge{n_0}$ $P_n$ est vraie par récurrence, il suffit :
- de vérifier que $P_{n_0}$ est vraie
- Considérons que $\forall{n}\ge{n_0}$ ; $P_{n}$ est vraie : c’est l’hypothèse de la récurrence;
- démontrer que $P_{n+1}$ est vraie

Exemple

1- Démontrer par récurrence que $\forall{n}\in{\mathbb{N^*}}$
$S=1+2+3+…+n=\frac{n(n+1)}{2}$
2- Démontrer que $\forall{n}\le{10}$ ; $2^n>100n$
                         Solution
$\rightarrow$ Posons $P_n$ ; la proposition qui $\forall{n}\ge{1}$ $P_n=\frac{n(n+1)}{2}$ ; montrons par récurrence que $P_n$ est vraie.

$\rightarrow$ Vérifions que $P_1$ est vraie
$P_1$ or $P_1=\frac{1(1+1)}{2}=1$ donc $P_1$ est vraie
$P_2=\frac{2(2+1)}{3}=3$ donc $P_2$ est vraie

$\rightarrow$ Supposons que $P_q$ est vraie $\forall{q}\ge{1}$ c’est-à-dire $\forall{q}\ge{1}$, $P_q=\frac{q(q+1)}{2}$ et montrons que $P_{q+1}$ est vraie c’est-à-dire que $P_{q+1}=\frac{(q+1)(q+2)}{2}$
On a :
$\forall{q}\ge{1}$, $P_q=\frac{q(q+1)}{2}$
$P_{q+1}=\frac{(q+1)(q+2)}{2}\\=>P_{q+1}=\frac{(q+1)[(q+1)+1]}{2}\\ P_{q+1}=\frac{q(q+1)+2(q+1)}{2}\\ P_{q+1}=\frac{q(q+1)}{2}+q+1$
$P_{q+1}=1+2+3+…+q+(q+1)$ donc $\forall{q}\ge{1}$, on a : $P_{q+1}$ est vraie ; par conséquent, d’après le principe de la récurrence $\forall{n}\ge{1}$, $S=1+2+3+…+n=\frac{n(n+1)}{2}$
$\rightarrow$ Démontrons que $P_{n}$ est vraie
Posons $P_n$ la propriété qui $\forall{n}\ge{10}$
$P_n=2^n>100n$
Pour $n=10$, on a: $\left\{\begin{array}{II}2^n=1024\\100n=1000\end{array}\right.$
$1024>1000$ $\forall{n}\ge{10}=>P_{n_0}$ est vraie
$\rightarrow$ Supposons que $P_n$ est vraie et démontrons que $P_{n+1}$ est vraie
On a :
$2^{n+1}=2^n\times{2}$
$100(n+1)=100n+100$ de l’hypothèse de la récurrence, on a :
$2^n>100n$ ; $\forall{n}\ge{10}$. De plus, $2^n>100$.
En additionnant membre par membre, on a :
$2^n+2^n>100n+100\\$=>$2\times{2^n}>100n+100\\=>2^{n+1}>100(n+1)$$P_{n+1}$ est vraie

III.  Inégalité de la moyenne

Propriété

Soit $f$ une fonction continue sur $I$, s’il existe $M$ et $m\in{\mathbb{R}}$ tel que $m\le{f(x)}\le{M}$ ; $a$ et $b\in{I}$ tel que $a < b$.

On a : $m\in{\mathbb{R}}$ tel que $m\le{f(x)}\le{M}$  $ =>\int_a^b m\,\mathrm dx\le{\int_a^b f(x)\,\mathrm dx}\le{\int_a^b M\,\mathrm dx }\\=>m[x]_a^b\le{\int_a^b

f(x)\,\mathrm dx }\le{M[x]_a^b}\\=>m(b-a)\le{\int_a^b f(x)\,\mathrm dx }\\$$\le{M(b-a)}$

Si $U_n=b$ et $a=\alpha$, on a : $m(U_n-\alpha)\le{\int_{\alpha}^{U_n} f(x)\,\mathrm dx }\\$$\le{M(U_n-\alpha)}$.

De plus, si $m=-M$, on aura :
$-M(U_n-\alpha)\le{\int_{\alpha}^{U_n} f(x)\,\mathrm dx }\le{M(U_n-\alpha)}$ $=>\mathbf{|\int_{\alpha}^{U_n} f(x)\,\mathrm dx|\le{|U_n-\alpha|}}$