Multiplication d'un Vecteur par un Réel
I. Produit d'un vecteur par un réel
A. Activité
$A$ et $B$ sont deux points de la droite graduée tel que AB=$2cm$ (unité $1cm$).
a)Construire les points $C$ et $D$ tel que $\overrightarrow{AC}$=2 $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ =$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} $.
b)Donner l’abscisse de chacun des points $C$ et $D$ dans le repère ($A$ ; $B$).
c)Place le point E d’abscisse -4 dans le repère $(A ; B)$ et donner $\overrightarrow{AE}$ en fonction de $\overrightarrow{AB} $ .
Réponse
b)L’abscisse de $C$ est 2.
L’abscisse de $D$ est $-\frac{1}{2}$.
c) $\overrightarrow{AE}$=-4 $\overrightarrow{AB}$
B. Définition
$A$ et $B$ étant deux points distincts du plan ; k étant un réel quelconque. k $\overrightarrow{AB}$ désigne un vecteur $\overrightarrow{AC}$ où C est le point d’abscisse k dans le repère $(A ; B)$. Soit un vecteur du plan de répresentant $(A ; B)$.
Si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{U}$ alors $k\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{U}$.
Le vecteur $k \overrightarrow{U}$ est appelé produit du vecteur $\overrightarrow{U}$ par un réel $k$.
Remarque:
- les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ont même direction.
- Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont de sens contraire si k<0.
- $\overrightarrow{AC}$=|k|.$\overrightarrow{AB}$
- Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ peut changer d'origine.
C. Propriétés
Pour tout réel $x$ et $y$ et pour tout vecteur $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$:
$x(\overrightarrow{U}+\overrightarrow{V})$= $x\overrightarrow{U}$+$x\overrightarrow{V}$;
$x$$\overrightarrow{U}$ + $y$$\overrightarrow{U}$=$(x+y)$.$\overrightarrow{U}$;
$x(y)$ $\overrightarrow{U}$=$(xy)$$\overrightarrow{U}$.
Exercice d'application
Placer $A; B; C$ trois points du plan non alignés. Soit M le point du plan tel que:
$\overrightarrow{AM}$=$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$+$3(\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CA})$
Réduire l'expression du vecteur $\overrightarrow{AM}$ puis placer M.
II. Caractérisation d'un alignement de trois points
A. vecteurs colinéraires
1 - Activité
Tracer un vecteur $\overrightarrow{U}$ puis construire $2 \overrightarrow{U}$ ; $\overrightarrow{-U}$ ; $-\frac{1}{2}$ $\overrightarrow{U}$ . Comparer les directions de chacun de ces vecteurs.
On remarque que les vecteurs ont tous la même direction. On dit qu’ils sont colinéairs.
2 - Définition
Etant donné deux vecteurs $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ non nuls ; s’il existe un réel k tel que $\overrightarrow{V}$ = k $\overrightarrow{U}$ ; on dit que les vecteurs $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ sont colinéaires.
Remarque :
Le vecteur nul ( $\overrightarrow{0}$ ) est colinéaire à tout vecteur.
B. Caractérisation d’un alignement de trois points
1 - Activité
Placer deux points $A$ et $B$ dans le plan ; construire le vecteur $\overrightarrow{AC}$ tel que$\overrightarrow{AC}$ =$2 \overrightarrow{AB}$.
a) Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}$ ?
b) Que peut-on dire des points $A$ ; $B$ ;$C$ ?
Réponse
a) $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.
b) Les points $A$ ; $B$ et $C$ sont alignés.
2 - Propriété
Soient trois points $A$ ; $B$ et $C$:
Si $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colnéaires alors $A$; $B$; et $C$ sont alignés;
Si les points $A$; $B$; et $C$ sont alignés alors les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.
III. Caractérisation du parallélisme de deux droites
A. Activité
Placer trois points A ; B et C non alignés puis construire le vecteur $\overrightarrow{CD}$ tel que $\overrightarrow{CD}$ = $2\overrightarrow{AB}$.
a) Que peut-on dire de $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{AB}$ ?
b) Que peut-on dire de $(CD)$ et $(AB)$ ?
Réponse
$\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
$(CD) et (AB)$ sont parallèles.
B. Propriété
- Si $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont deux vecteurs colinéaires et non nuls alors les droites $(CD)$ et $(AB)$ sont parallèles.
- Si les droites $(CD)$ et $(AB)$ sont parallèles alors $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont deux vecteurs colinéaires et non nuls.
Remarque :
- Si deux vecteurs non nuls sont colinéaires alors ils ont même direction.
- Si deux vecteurs non nuls ont même direction alors ils sont colinéaires.