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Multiplication d'un Vecteur par un Réel

I.  Produit d'un vecteur par un réel

A.  Activité

$A$ et $B$ sont deux points de la droite graduée tel que AB=$2cm$ (unité $1cm$)

a)Construire les points $C$ et $D$ tel que $\overrightarrow{AC}$=2 $\overrightarrow{AB}$  et $\overrightarrow{AD}$  =$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} $

b)Donner l’abscisse de chacun des points $C$ et $D$ dans le repère ($A$ ; $B$)

c)Place le point E d’abscisse -4 dans le repère $(A ; B)$ et donner $\overrightarrow{AE}$   en fonction de $\overrightarrow{AB} $ 

Réponse

Capture_2

   b)L’abscisse de $C$ est 2

   L’abscisse de $D$ est $-\frac{1}{2}$

    c) $\overrightarrow{AE}$=-4 $\overrightarrow{AB}$

B.  Définition

$A$ et $B$ étant deux points distincts du plan ; k étant un réel quelconque. k $\overrightarrow{AB}$  désigne un vecteur $\overrightarrow{AC}$  où C est le point d’abscisse k dans le repère $(A ; B)$. Soit  un vecteur du plan de répresentant $(A ; B)$.
si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{U}$ alors $k\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{U}$
Le vecteur $k \overrightarrow{U}$ est appelé produit du vecteur $\overrightarrow{U}$ par un réel $k$

Remarque:

  • les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ont même direction.
  • Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont de sens contraire si k<0
  • $\overrightarrow{AC}$=|k|.$\overrightarrow{AB}$
  • Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ peut changer d'origine

C.  Propriétés

Pour tout réel $x$ et $y$ et pour tout vecteur $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$
$x(\overrightarrow{U}+\overrightarrow{V})$= $x\overrightarrow{U}$+$x\overrightarrow{V}$
$x$$\overrightarrow{U}$ + $y$$\overrightarrow{U}$=$(x+y)$.$\overrightarrow{U}$
$x(y)$ $\overrightarrow{U}$=$(xy)$$\overrightarrow{U}$

Exercice d'application
Placer $A; B; C$ trois points du plan non alignés. Soit M le point du plan tel que: 
$\overrightarrow{AM}$=$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$+$3(\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CA})$
Réduire l'expression du vecteur $\overrightarrow{AM}$ puis placer M

II.  Caractérisation d'un alignement de trois points

A.  vecteurs colinéraires

1 - Activité

Tracer un vecteur $\overrightarrow{U}$ puis construire $2 \overrightarrow{U}$  ; $\overrightarrow{-U}$  ; $-\frac{1}{2}$ $\overrightarrow{U}$   . Comparer les directions de chacun de ces vecteurs.

Capture1

 

On remarque que les vecteurs ont tous la même direction. On dit qu’ils sont colinéairs

2 - Définition

Etant donné deux vecteurs $\overrightarrow{U}$ et  $\overrightarrow{V}$ non nuls ; s’il existe un réel k tel que $\overrightarrow{V}$ = k $\overrightarrow{U}$  ; on dit que les vecteurs $\overrightarrow{U}$   et  $\overrightarrow{V}$ sont colinéaires

Remarque :
Le vecteur nul ( $\overrightarrow{0}$  ) est colinéaire à tout vecteur.                                                  

B.  Caractérisation d’un alignement de trois points

1 - Activité

Placer deux points  $A$ et $B$ dans le plan ; construire le vecteur $\overrightarrow{AC}$  tel que$\overrightarrow{AC}$ =$2 \overrightarrow{AB}$  

a) Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}$ ?
b) Que peut-on dire des points $A$ ; $B$ ;$C$ ?

Réponse

                 Capture2

a) $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires

b) Les points $A$ ; $B$ et $C$ sont alignés

2 - Propriété

Soient trois points $A$ ; $B$ et  $C$:
Si  $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colnéaires alors $A$; $B$; et $C$ sont alignés;
Si les points $A$; $B$; et  $C$ sont alignés alors les vecteurs  $\overrightarrow{AC}$ et  $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.

III.  Caractérisation du parallélisme de deux droites

A.  Activité

Placer trois points A ; B et C non alignés puis construire le vecteur $\overrightarrow{CD}$  tel que $\overrightarrow{CD}$ = $2\overrightarrow{AB}$

a) Que peut-on dire de $\overrightarrow{CD}$  et $\overrightarrow{AB}$ ?

b) Que peut-on dire de $(CD)$ et $(AB)$ ?

Réponse

Capture3

$\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires

$(CD) et (AB)$ sont parallèles

B.  Propriété

- Si $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont deux vecteurs colinéaires et non nuls alors les droites $(CD)$ et $(AB)$ sont parallèles
- Si les droites $(CD)$ et $(AB)$ sont parallèles alors $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont deux vecteurs colinéaires et non nuls

Remarque :

  • Si deux vecteurs  non nuls sont colinéaires alors ils ont même direction.
  • Si deux vecteurs  non nuls ont même direction alors ils sont colinéaires.