Chapitre 7: OSCILLATIONS MECANIQUES : PENDULE ELASTIQUE HORIZONTALE - Physique-Chimie Terminale D | DigiClass
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OSCILLATIONS MECANIQUES : PENDULE ELASTIQUE HORIZONTALE

I.  Description

Le pendule élastique horizontal est constitué :

  • D’un ressort à spires non jointives de masse négligeable et d’axe horizontal. L’une des extrémités du ressort est fixée à un support
  • D’un solide S de masse m. le solide est accroché à l’autre extrémité du ressort. Il peut se déplacer sans frottement sur le plan horizontal

 

 

  • Lorsque le ressort est au repos, il n’est ni tendu ni comprimé. Sa longueur est lo (longueur au repos ou à vide ou naturelle). Le solide S est en équilibre sous l’action de son poids $\vec{P}$ et de la réaction du support $\vec{R}$

$Ʃ\vec{F}_{ext}=\vec{P}+\vec{R}=\vec{O}$

  • Si l’on écarte le solide de sa position d’équilibre et on le lâche, il se met à osciller (faire des va et vient) autour de sa position d’équilibre.

II.  Période du pendule élastique

A.  Définition du pendule et formule

  • la période T (aussi appelé période propre) d’une pendule élastique est la durée d’une de ces oscillations complètes.
  • la formule de la période T est :

$T=2∏\sqrt{\frac{m}{k}}$

Avec masse du solide m en kg et raideur k en N/m

B.  Propriétés

La période T :

  • Est indépendante de l’amplitude des oscillations
  • Augmente avec la masse m du solide et diminue avec la raideur k du ressort

C.  Détermination de l’expression de la période par analyse dimensionnelle

En mécanique, la masse, la longueur et le temps sont les grandeurs fondamentales. Ces grandeurs sont dimensionnées car elles sont des unités.

La période d’un pendule élastique horizontal dépend de deux grandeurs qui sont la masse m et la raideur k. son expression est donc de type :

$T=αm^{λ}k^{β}$    α,λ et βsont des constantes sans dimensions

Analyse dimensionnelle

$T=α m^{λ}k^{β}$          α n’intervient pas dans l’analyse

$[T]=[M]^{λ}.[K]^{β}$

$[T]=[M]^{λ}([M].[T])^{2})^{β}$                            car $k=\frac{F}{l}=\frac{ma}{l}=\frac{lm}{lt^{2}}$

$[T]=[M]^{λ}[M]^{β}.[T]^{-2β}$

$[T]=[M]^{λ+β}.[T]^{-2β}$

Par identification, on a : $λ +β = 0$ et $-2β = 1$

                                         → $λ = -β$ et $β= \frac{-1}{2}$

Donc $T=αm^{\frac{1}{2}}$.$k^{\frac{-1}{2}}$

$T=α\sqrt{\frac{m}{k}}$

On trouve expérimentalement $α = 2∏$

Donc $T=2∏\sqrt{\frac{m}{k}}$

Remarque :

  • Fréquence $N=\frac{1}{T}=\frac{1}{2∏}\sqrt{\frac{k}{m}}$
  • -vitesse angulaire (pulsation) $w=\frac{2∏}{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}$

III.  Tension du ressort et énergie potentiel élastique

A.  Tension du ressort

Considérons un pendule élastique horizontal au repos. La longueur du ressort est lo. Le centre d’inertie G du solide S est en O pris comme l’origine de l’axe (O ;$\vec{i}$)

 

  • Si on écarte le solide S de sa position d’équilibre, le ressort est soit allongé, soit raccourci. La longueur passe de lo à l.

1er cas : allongement

2è cas : ressort comprimé ou raccourci

 

$\vec{T}=k(lo-l)\vec{i}=-k(l-lo)\vec{i}$

La tension du ressort est aussi appélée force de rappel s’oppose à la  formation imposée au ressort.

  • Son expression vectorielle est :

$\vec{V}=-k(l-lo)\vec{i}=-kx\vec{i}$

  • Son module est

$T=k|l-lo|=k|x|$

B.  Energie potentielle élastique

L’énergie potentielle élastique est liée à la déformation du ressort et se calcule comme suit :

$E_{pc}= \int_{0}^{x}Tdx=\int_{0}^{x}kxdx$

$E_{pc}=\frac{1}{2}kx^{2}$

  1. l’énergie mécanique d’un pendule élastique horizontal

$E_{M}=E_{c}+E_{Pe}$

$E_{M}=\frac{1}{2}mV^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}$

Cas particulier

  • Si V=0 alors $E_{C}=0$ et $E_{M}=E_{Pe}(max)=\frac{1}{2}kX^{2}max$

Xmax = Xm = amplitude ou abscisse maximale

  • Si x=0 alors $E_{Pe}=0$ et $E_{M}=E_{C(max)}=\frac{1}{2}mV^{2}max$

Vmax = vitesse maximale

  • En absence de frottement, l’énergie mécanique se conserve

Sa valeur est donc constante

$E_{M}=cte$

$E_{M}=\frac{1}{2}mV^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}$

$E_{m}=\frac{1}{2}kX^{2}_{m}=\frac{1}{2}mV^{2}_{max}$

IV.  L'énergie mécanique d'un pendule élastique horizontal

$E_{M}=E_{C}+E_{Pe}$

$E_{M}=\frac{1}{2}mV^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}$

Cas particulier

  • Si $V=0$ alors :

$E_{C}=0$

$E_{M}=E_{Pe}(max)=\frac{1}{2}kX^{2}max$

Xmax=Xm=amplitude ou abscisse maximale

  • Si $x=0$ alors :

$E_{Pe}=0$

$E_{M}=E_{C}(max)=\frac{1}{2}mV^{2}max$

Vmax=vitesse maximale

  • En absence de frottement, l’énergie mécanique se conserve

la valeur est donc constante

$E_{M}=Cte$

$E_{M}=\frac{1}{2}mV^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}$

$E_{m}=\frac{1}{2}kX^{2}m=\frac{1}{2}mV^{2}max$

V.  Equation différentielle du mouvement et sa résolution

A.  Etablissement de l’équation différentielle

Considérons un solide S accroché à un ressort de masse négligeable qui oscille autour de sa position d’équilibre.

1ère méthode : (méthode dynamique)

Système {solide S}

RTSG

Bilan des forces : le poids $\vec{P}$ ; la réaction $\vec{R}$ ; la tension $\vec{T}$

Appliquons RFD

$Ʃ\vec{F}_{ext}=m\vec{a}$ → $\vec{P}+\vec{R}+\vec{T}=m\vec{a}$

                                                →$\vec{P}(0)+\vec{R}(0)+\vec{T}(-T)=m\vec{a}(a)$ sur $(o ;\vec{i})$

                                               →$-T=ma$

                                               →$kx+ma=0$

                                               →$a+\frac{k}{m}x=0$

                                               →$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x=0$

2e méthode (méthode énergétique)

Système {solide + ressort)

RTSG

Bilan des forces : le poids $\vec{P}$ ; la réaction $\vec{R}$

 

En absence de frottement, l’énergie mécanique se conserve

$E_{M}=cte$ → $\frac{dE_{M}}{dt}=0$

                      → $\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}kx^{2}+\frac{1}{2}mV^{2})$

                      → $\frac{1}{2}k(2Vx)+\frac{1}{2}m(2aV)=0$

                       → $kx+ma=0$ or $a=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$

                       →$\frac{d^{2}x}{dt}+\frac{k}{m}x=0$

B.  Nature du mouvement du solide S

Le solide S est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal

La période de ce mouvement est $T=2∏\sqrt{\frac{m}{k}}$

La pulsation est $w=\sqrt{\frac{k}{m}}$

C.  Equation horaire du mouvement

L’équation horaire du mouvement est la solution de l’équation différentielle. Cette solution est de la force :

$x=Xmcos(wt+Q)$

Xm : abscisse maximale > 0

W : pulsation en m/s

Q : phase à l’origine (à t=0)

(wt+Q) : phase à la date t.

Remarque

Xm et Q ne depend que des conditions initiales du mot

$x=Xmcos(wt+Q)$

$V=\frac{dx}{dt}=-Xmsin(wt+Q)$

$At = 0$

$x_{o}=XmcosQ$

$V_{O}=-XmwsinQ=-VmaxsinQ$

(Vmax=Xmw)

VI.  Représentation graphique

A.  Représentation de $E_{C}$, $E_{P}$ et $E_{M}$ en fonction de x

Soit un solide animé d’un mouvementt rectiligne sinusoïdal. Son centre d’inertie décrit un segment de longueur l=2Xm centré par la position d’équilibre O.

$xϵ[-Xm ;Xm]$

$E_{Pe}=\frac{1}{2}kx^{2}$ ; $E_{M}=E_{Pemax}=\frac{1}{2}kX^{2}m$

$E_{C}=E_{M}-E{Pe}=\frac{1}{2}kX^{2}m-\frac{1}{2}kx^{2}$

$E_{C}=\frac{1}{2}k(X^{2}m-x^{2})$

 

  • Si $x=Xm$ alors $E_{C}=0$ (Xm ;O)
  • Si $x=-Xm$ alors $E_{C}=0$ (-Xm ;O)
  • Si $x=0$ alors $E_{C}=\frac{1}{2}kX^{2}$ $(0 ;\frac{1}{2}X^{2}m)$

B.  Représentation de Xm et V en fonction du temps

Nous allons choisir la fonction position x telle que Q=0

$x=Xmcos(wt+Q)$

$Q=0$

→ $x=Xmcoswt$ → $V=\frac{dx}{dt}=-Xmwsinwt$

Or $cos(α+\frac{∏}{2})=-sinα$

→ $V=Xmwcos(wt+\frac{∏}{2})$

$V=Vmaxcos(wt+\frac{∏}{2})$

Si $w=\frac{2∏}{T}$ alors $x=Xmcos\frac{2∏}{T}t$ et $V=Vmaxcos(\frac{2∏}{T}t+\frac{∏}{2})$

t

0

$\frac{T}{4}$

$\frac{T}{2}$

$\frac{3T}{4}$

t

x

Xm

0

-Xm

0

Xm

v

0

-Vmax

0

Vmax

0

 

On constante que

  • Quand $V=0$ alors $x=Xm$ ou $X=-Xm$
  • Quand $x=0$ alors $V=Vmax$ ou $V=-Vmax$

C.  Représentation de $E_{C}$ et de $E_{p}$ en fonction du temps

$x=Xmcoswt$ avec $Q=0$

$V=-Xmwsinwt=Xmwcos(wt+\frac{∏}{2})$

$E_{Pe}= \frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}kX^{2}mcos^{2}wt$

$E_{C}=\frac{1}{2}mV^{2}=\frac{1}{2}mw^{2}x^{2}msin^{2}wt$

Or $w^{2}=\frac{k}{m}$ → $mw^{2}=k$

Donc $E_{C}=\frac{1}{2}kX^{2}ksin^{2}wt$

$E_{P}=\frac{1}{2}kX^{2}mcos^{2}(\frac{2∏}{T}t)$ car $w=\frac{2∏}{T}$

$E_{C}=\frac{1}{2}kX^{2}msin^{2}(\frac{2∏}{T}t)$