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OSCILLATIONS ELECTRIQUES FORCEES

I.  Etude expérimentale

A.  Dispositif expérimental

  • Le GBF délibère une tension sinusoïdale de fréquence N entre les points A et D.
  • Sur la voie YA on visualise la tension UAD aux bornes du GBF ou de l’association RLC en série
  • Sur la voie YB on visualise la tension UBD aux bornes du conducteur ohmique R. ce qui permet à la constante R près de visualiser l’intensité $i$ qui traverse le circuit.

L’ampèremètre mesure l’intensité efficace $I$ et le voltmètre mesure la tension efficace $U$

B.  Observation

A l’écran de l’oscillation, on observe deux sinusoïdes de même période mais pas toujours de même phase.

C.  Notion d’impédance

L’impédance $Z$ est le rapport entre la tension efficace $U$ et l’intensité $I$

$Z=\frac{U}{I}$

Autre formule

$U_{max}=U\sqrt{2}$

$I_{max}=I\sqrt{2}$

→ $Z=\frac{U}{I}=\frac{U_{max}}{I_{max}}$

L’impédance $Z$ s’exprime en $Ω$ (ohm). Graphiquement

On a :

D.  L’influence de la fréquence

Si l’on maintient constante la valeur efficace $U$ de la tension appliquée aux bornes du circuit et on fait varier la fréquence $N$, on constate que l’intensité efficace $I$ pour une valeur bien précise de la fréquence est maximale : on dit que le circuit est à la résonance d’intensité.

II.  Etude théorique du circuit RLC

A.  Intensité instantanée et tension instantanée

  • L’intensité instantanée est la même en tout point du circuit

$i=i_{R}=i{L}=i_{C}$

  • La tension instantanée U est la somme des tensions aux bornes de chaque dipôle

$u=U_{R}+U_{L}+U_{C}$

B.  Equation horaire de i et de u

→ Pour $i$ on a : $i=I_m\cos{(wt)}$

→ Pour $u$ on a : $u=U_m\cos{(wt+Q)}$

Remarque

→ Si $Q>0$ : $u$ est en avance de phase sur $i$

→ Si $Q=0$: $u$ et $i$ sont en phase

→ Si $Q<0$ : $u$ est en retard de phase sur $i$

→ les tensions maximale s’ajoutent géométriquement (construction de Fresnel)

C.  Impédance Z, la phase Q et construction de Fresnel

1.  Résistance pure

  • Schéma

  • Equation horaire

$u=Ri=RI_{m}coswt$

$u=U_{m}cos(wt+Q)$

  • Tension maximale

$U_{m}=Ri_{m}$

  • Impedance

$Z=\frac{U_{m}}{I_{m}}=R$ soit $Z=R$

Phase Q      $Q=0$

Diagramme de Fresnel

2.  Induction pure

→ Schéma

→ Equation horaires

$i=Imcoswt$

$u=\frac{Ldi}{dt}=LwI_{m}cos(wt+\frac{\pi}{2})$

→ Tension maximale $U_{m}=LwI_{m}$

→ Impédance $Z=\frac{U_{m}}{I_{m}}=Lw$

→ Phase Q         $Q=\frac{\pi}{2}$

Conduction de Fresnel

3.  Capacité pure

Schéma

→ Equation horaire

$i=I_{m}coswt$

$u=\frac{1}{C}∫idt=\frac{I_{m}}{Cw}cos(wt-\frac{\pi}{2})$

→ tension maximale $U_{m}=\frac{I_{m}}{Cw}$

→ impédance $Z=\frac{U_{m}}{I_{m}}=\frac{1}{Cw}$

→ Phase Q         $Q=\frac{-\pi}{2}$

Construction de Fresnel

 

4.  Dipôle RLC (avec bobine non résistive)

→ Equation horaire

$i=I_{m}coswt$

$u=U_{R}+U_{L}+U_{C}$

$u=Ri+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}∫idt$

$u=RI_{m}coswt+LwI_{m}cos(wt+\frac{\pi}{2})$ $+\frac{I_{m}}{cw}cos(wt-\frac{\pi}{2})$

→ Construction de Fresnel

Les tensions maximales de la résistance de la bobine et du condensateur s’ajoutent géométriquement

Cas où $Lw>\frac{1}{Cw}$

→ Impédance Z

Théorème de Pythagore.

$U^{2}_m=(RI_{m})^{2}+[(Lw-\frac{1}{Cw})I_{m}]^{2}$

$(ZI_{m})^{2}==(RI_{m})^{2}+[(Lw-\frac{1}{Cw})I_{m}]^{2}$

$Z^{2}.I^{2}_{m}=R^{2}I^{2}_{m}$ $+I^{2}_{m}+I^{2}_{m}(Lw-\frac{1}{Cw})^{2}$

$Z^{2}=R^{2}+(Lw-\frac{1}{Cw})^{2}$

$Z=\sqrt{R^{2}+(Lw-\frac{1}{Cw})^{2}}$

→ Déphasage $Q$

$tanQ=\frac{Lw-\frac{1}{Cw}}{RI_{m}}I_{m}$

$tanQ=\frac{Lw-\frac{1}{Cw}}{R}$

D.  Dipôle particulier

1.  Bobine résistance (L,r)

→ Schéma :

→ Impédance Z

En courant continu $Z=r$

En courant alternatif $Z=\sqrt{r^{2}+L^{2}w^{2}}$

→ Déphasage Q

$tan Q = \frac{Lw}{r}$

$Q>0$ : u en avance de i

→ Construction de Fresnel

 

 

 

2.  Dipôle RLC avec bobine résistive

→ Schéma

→ Impédance

$Z=\sqrt{(R+r)^{2}+(Lw-\frac{1}{Cw})^{2}}$

→ Phase Q         $tanQ= \frac{Lw-\frac{1}{Cw}}{R+r}$

III.  Puissance en régime sinusoïdal alternatif

A.  Puissance instantanée

$p=u i$ or $u=U_{m}cos(wt+Q)$ et $i=I_{m}cos(wt)$

Donc $p=U_{m}I_{m}cos(wt+Q)coswt$

Or $U_{m}=U\sqrt{2}$ et $I_{m}=I\sqrt{2} ↔ U_{m}I_{m}=2UI$

$p=2UIcos(wt+Q)=coswt$

Comme

$cos(wt+Q).coswt=$ $\frac{1}{2}[cos(2wt+Q)+cosQ]$

$cosQ.cosb=$ $\frac{1}{2}[cos(a+b)+cos(a-b)]$

avec $a=wt+q$ et $b=wt$

Donc $P=UI[cos(2wt+Q)+cosQ]$

$P=UIcos(2wt+Q)+UIcosQ$

B.  Puissance moyenne

La puissance moyenne est le quotient de l’énergie reçue par un dipôle pendant une période T.

Comme $E_{T}=\int_{o}^{T}cos(2wt+Q)+UI\int^{T}_{O}cosQdt$

$E_{T}=UIcosQ.T$ car $UI\int^{T}_{O}\cos(2wt+Q)=0$ puisque $\omega=\frac{2\pi}{T}$

Alors puissance moyenne $P=\frac{E_{T}}{T}=\frac{UIcosQT}{T}$

$P=UIcosQ$

L’expression de la puissance moyenne comporte :

  • Le produit UI qu’on appelle puissance apparente : $Pa = UI$
  • Le facteur de puissance $cosQ$. Il est un nombre sans unité
    • Pour un dipôle RLC avec bobine non résistive $cosQ=\frac{R}{Z}$
    • Pour un dipôle RLC avec bobine résistive $cosQ=\frac{R+r}{Z}$
  • On mesure la puissance moyenne à l’aide d’un appareil appelé Wattmètre

C.  Puissance moyenne de quelques dipôles

Dipôle

Impédance

Phase

Facteur de puissance

Puissance moyenne

Conducteur

$Z = R$

$Q = 0$

$cosQ = 1$

$P = UI = \frac{U^{2}}{R}=RI^{2}$

Bobine non résistive (Induction pure)

$Z=Lw$

$Q = \frac{\pi}{2}$

$cosQ=0$

$P=0$

RLC avec bobine résistive

$Z=\frac{1}{Cw}$

$Q=\frac{\pi}{2}$

$cosQ=0$

$P=0$

Condensateur

$Z=\sqrt{R^{2}+(Lw-\frac{1}{Cw})^{2}}$

$tanQ=\frac{Lw-\frac{1}{Cw}}{R}$

$cosQ=\frac{R}{Z}$

$P=UIcosQ$

$P=RI^{2}$

RLC  avec bobine résistive

$Z=\sqrt{(R+r)^{2}+(Lw-\frac{1}{Cw})^{2}}$

$Q=\frac{Lw-\frac{1}{Cw}}{R+r}$

$cosQ=\frac{R+r}{Z}$

$P=UI cosQ$

$P=(R+r)I^{2}$

On remarque que :

  • Pour une induction pure ou une capacité pure la puissance moyenne est nulle
  • Pour un dipôle RLC, la puissance moyenne est consommée sous forme thermique (effet joule) par la ou les résistances.

IV.  Phénomène de résonance électrique

A.  Dispositif expérimental

Pour un dipôle RLC avec bobine non résistive, on a :

B.  Courbe de résonance

La courbe de résonance est la courbe qui traduit les variations de l’intensité dans le circuit en fonction de la fréquence $N$ lorsque la tension efficace $U$ du GBF reste constante.

La courbe de résonance présente un maximum dont les coordonnées sont ($N_{o},I_{O}$). On dit que le circuit est à la résonnance d’intensité. A la résonnance d’intensité, l’intensité efficace $I_{o}$ est maximale.

C.  Condition de résonnance

 

Dipôle RLC avec bobine non résistive

Dipôle RLC avec bobine résistive

 $u$ et $i$ sont en phase

$tanQ=0$ → $Q=0$

$Lw-\frac{1}{Cw_{O}}=0$ → $Lw^{2}C=1$

$tanQ=0$ $Q=0$

$LCw^{2}=1$

Impédance minimale

$Z_{O}=R$

$Z_{O}=R+r$

Intensité efficace maximale

$I_{O}=\frac{U}{R}$

$I_{O}=\frac{U}{R+r}$

 

D.  Pulsation propre $w_{O}$, fréquence propre ou de résonnance $N_{O}$ et de période propre $T_{O}$

Pulsation propre $w_{O}$

Fréquence propre $N_{O}$

Période propre $T_{O}$

$Lw-\frac{1}{cw_{O}}=0$

$LCw^{2}_{O}=1$

$w_{O}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

$w_{O}=2\pi{N_{O}}$

$N_{O}=\frac{w_{O}}{2\pi}$

$N_{O}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

$T_{O}=\frac{2\pi}{w_{O}}$

$T_{O}=\frac{1}{N_{O}}$

$T_{O}=2\pi\sqrt{LC}$

E.  Circuit inductif, circuit à la résonance et circuit capacitif

Pour un dipôle RLC avec bobine non résistive, on a :

 

Circuit inductif

Circuit à la résonnance

Circuit capacitif

Condition

$Lw-\frac{1}{Cw}>0$

$Lw>\frac{1}{Cw}$

$tanQ>0$ , $Q>0$

$N>N_{O}$

$Lw-\frac{1}{Cw_{O}}=0$

$Lw_{O}=\frac{1}{Cw_{O}}$

$tanQ=0$ , $Q=0$

$N=N_{O}$

$Lw-\frac{1}{Cw}<0$

$Lw<\frac{1}{Cw_{O}}$

$tanQ<0$ , $Q<0$

$N<N_{O}$

Diagramme de Fresnel

 

 

 

F.  Acuité de résonance

1.  Résonance aiguë et résonance floue

Quel que soit la valeur de la résistance, la résonance se produit toujours à la même fréquence $N_{O}$ pour un dipôle RLC.

- suivant la valeur de la résistance, la résonance peut être aiguë ou flou.

- lorsque la résonance est aiguë :

  • La courbe I=f(h) est pointue
  • La valeur de la résistance est faible
  • La bande passante est étroite
  • Le circuit est sélectif
  • Le facteur de qualité $Q>10$

-Lorsque la résonance est floue

  • La courbe $I=f(N)$ est aplatie
  • La valeur de la résistance est grande
  • La bande passante est large
  • Le circuit est peu sélectif
  • Le facteur de qualité $Q<10$

 

 

2.  Bande passante ou bande passante à 3 décibels (3dB)

La bande passante d’un circuit RLC est l’ensemble des fréquences pour lesquelles, la réponse en intensité est supérieure à $\frac{I_{O}}{\sqrt{2}}$ (soit >0,71 I).

  • La bande passante ΔN=N2-N1 délimitée par les fréquences.

N2 et N1 telles que N2>N1 caractérisent l’acuité de la résistance.

Elle dépend des éléments constitutifs du circuit

  • Lorsque la fréquence est égale à N1 ou N2, l’intensité efficace vaut : $\frac{I_{O}}{\sqrt{2}}$ (I(N1)=I(N2)=$\frac{I_{O}}{\sqrt{2}})$, la puissance moyenne consommée est égale à la moitié de la puissance moyenne consommée à la résonnance.

$P= \frac{P_{O}}{2}$

Car $P_{O}=RI^{O}$ ; $I=\frac{I_{O}}{\sqrt{2}}$

$P=RI^{2}=R(\frac{I_{O}}{\sqrt{2}}=\frac{RI^{2}_{O}}{2}=\frac{P_{O}}{2}$

  • Pour une bande passante étroite : la résonance est aiguë et le circuit est sélectif

$ΔN=N_{2}-N_{1}$

Bande passante étroite

  • Pour une bande passante large : la résonance est flou et le circuit peu sélectif

$ΔN = N2 –N1$

Bande passante large

3.  Calcule de la largeur de la bande passante

La largeur la bande passante en fréquence est la longueur de l’intervalle [N1 ;N2] soit $ΔN=N_{2}-N_{1}$ car $N2>N1$

La largeur de la bande passante peut être aussi donnée en pulsation.

Dipôle RLC avec bobine non résistive

Dipôle RLC avec bobine résistive

→ en pulsation

$Δw=\frac{R}{L}=\frac{w_{O}}{Q}$

$Δw=w_{2}-w_{1}$

→ en fréquence

$ΔN=\frac{R}{2\pi{L}}=\frac{N_{O}}{Q}$

$ΔN=N_{2}-N_{1}$

→ en pulsation

$Δw=\frac{R+r}{L}=\frac{N_{O}}{Q}$

$Δw=w_{2}-w_{1}$

→ en fréquence

$ΔN=\frac{R+r}{2\pi{L}}=\frac{N_{O}}{Q}$

$ΔN=N_{2}-N_{1}$

4.  Facteur de qualité

Le facteur de qualité Q est la qualité telle que

$Q=\frac{N_{O}}{ΔN}$

Le facteur de qualité n’a pas d’unité

Si $Q<10$, le circuit est peu sélectif

Si $Q>10$,le circuit est sélectif

Si $Q≥100$, le circuit est très sélectif

Autres formules du facteur de qualité

Dipôle RLC ave bobine non résistive

Dipôle RLC avec bobine résistive

$Q=\frac{w_{O}}{Δw}=\frac{Lw_{O}}{R}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$

$Q=\frac{N_{O}}{ΔN}$

$Q=\frac{w_{O}}{Δw}=\frac{Lw_{O}}{R+r}=\frac{1}{(R+r)cw_{O}}$

$Q=\frac{1}{R+r}\sqrt{\frac{L}{C}}$

$Q=\frac{N_{O}}{ΔN}$

G.  Surtension à la résonance

A la résonance, pour un dipôle RLC avec bobine non résistive, les tensions efficaces aux bornes du condensateur et aux bornes de la bobine sont égales

  • Condensateur : $U_{b}=Z_{C}I_{O}= \frac{I_{O}}{Cw_{O}}=QU$
  • Bobine $U_{O}=ZbI_{O}=lw_{O}I_{o}=QU$

Comme $Q>1$ alors $U_{C}>U$ et $U_{b}>U$

Donc $Ub=U_{C}=QU$ à la résonance. Il y a donc surtension.

Les surtensions peuvent être dangereuses car elles peuvent provoquer le claquage du condensateur ou l’apparition d’étincelle dans les spires de la bobine.

H.  Application de la résonance

La résonance permet de régler un récepteur radio ou un téléviseur sur une chaîne bien déterminée ou station donnée.

Exercice d’application

On donne le circuit RLC suivant :

Avec L=0,4H ; R=60r ; N=50Hz ; U =60V

L’intensité i(t) est sous la forme i(t)=Imcoswt

La capacité du condensateur est variable

  1. Indiquer sur le schéma les branchements de l’oscilloscope permettant de visualiser à son écran l’intensité i traversant le circuit et la tension u aux bornes du GBF.
  2. la capacité du condensateur est réglée sur la valeur Co. Ce qui permet d’obtenir la valeur maximale de l’intensité efficace.
  3. quelle relation maximale de l’intensité lie les grandeurs L ; Co et w ? Calculer Co
  4. Déterminer dans ce cas la phase de la tension U(H) par rapport i(t). Exprimer l’intensité i(t)
  5. le conducteur est réglé de sorte que la tension u soit en retard de phase de $\frac{∏}{3}$ sur l’intensité i.

Construire le diagramme de Fresnel. Donner la nature du circuit