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Relation Trigonométrique dans un triangle rectangle

I.  Définitions

A.  Cosinus d’un angle aigu

1.  Activité

1)Soit deux demi-droites [ox) et [Oy) ; placer un point B sur [Ox) et construire son projeté orthogonal A sur [Oy)

a)$\hat{XOY}$=40°

b)$\hat{XOY}$=60°

2)Mesurer 0A et OB dans chaque cas et calculer le rapport de projection orthogonal de (OB) sur (OA) k=$\frac{OA}{OB}$

On remarque que le rapport   k=$\frac{OA}{OB}$ dépend de l’angle $\hat{AOB}$. Ce rapport est appelé cosinus de l’angle $\hat{AOB}$ .

 

2.  Définition

ABO est un triangle rectangle en A.
On appelle cosinus de l'angle $\hat{AOB}$ le réel $\frac{OA}{OB}$. On note cos$\hat{AOB}$=$\frac{OA}{OB}$
[OA] est appelé le côté adjacent de l’angle $\hat{AOB}$
                $\cos\hat{AOB}=\frac{côté\; adjacent}{Hypotenus}=\frac{OA}{OB}$

Remarque

-si $\hat{AOB}$=0° alors AO=OB cos0°=1

-si $\hat{AOB}$=0° alors AO=0 donc cos90°=0

B.  sinus d’un angle aigu

(Calculer le rapport de (OB) sur (AB). k’=$\frac{AB}{OB}$ dans l’activité précédente) 

Définition

ABO est un triangle rectangle en A.
On appelle sinus de l'angle $\hat{AOB}$ le réel $\frac{AB}{OB}$. On note sin$\hat{AOB}$=$\frac{AB}{OB}$
[ AB] est appelé le côté opposé de l’angle $\sin\hat{AOB}$
$\sin\hat{AOB}$=$\frac{côté\; opposé}{Hypotenuse}$=$\frac{AB}{OB}$

Remarque

-Si $\hat{AOB}$=0° alors AB=0 donc sin0°=0

-Si $\hat{AOB}$=90° alors AB=OB donc sin90°=1

C.  Tangente d’un angle aigu

(Calculer le rapport de (OA) sur (AB) parallèlement à (OB). k’’=$\frac{AB}{OA}$ 

dans l’activité précédente)

Définition

ABO est un triangle rectangle en A. On appelle tangente de l'angle $\hat{AOB}$ le réel $\frac{AB}{OB}$. on note tan$\hat{AOB}$=$\frac{AB}{OB}$

Alors tan$\hat{AOB}$=$\frac{côté opposé}{côté adjacent}$=$\frac{AB}{OA}$

Remarque

-Si $\hat{AOB}=0°$ alors $AB=0$ donc $tan0°=0$

-Si $\hat{AOB}=90°$ alors $OA=0$ donc $tan90°$ n’existe pas 

Exercice d’application

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=4 ; AC =3   ;    BC= 5$

Calculer cos$\hat{B}$  ; sin$\hat{B}$  ; tan$\hat{B}$  ; cos$\hat{C}$  ; sin$\hat{C}$ ; tan$\hat{C}$

 

II.  Propriété

A.  Relations entre sinus, cosinus et tangente d’un angle aigu

Soit ABC un triangle rectangle en C(figue ci-dessus)

1)Trouver cos$\hat{A}$ ; sin$\hat{A}$ et tan$\hat{A}$ en fonction de a ; b ; c 

2)calculer $\frac{sinA}{cosB}$ que remarque t-on ? 

3)calculer cos2A ; sin2A   ;  et cos2A + sin2A  

cos$\hat{A}$=$\frac{b}{c}$ ; sin$\hat{A}$=$\frac{a}{c}$ ; cos$\hat{A}$=$\frac{a}{b}$

2)Calculons  $\frac{sinA}{cosB}$

$\frac{sinA}{cosB}$=$\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}$= $\frac{a}{c}$ x $\frac{c}{b}$=$\frac{a}{b}$

On remarque que tan$\hat{A}$=$\frac{sin\hat{A}}{cos\hat{A}}$=$\frac{a}{b}$

3)Calculons

(cos$\hat{A}$)2=cos2 $\hat{A}$ = $(\frac{b}{c})^2$=$\frac{b^2}{c^2}$  ;  sin2 $\hat{A}$=($\frac{a}{c}$)2=$\frac{a^2}{c^2}$

cos2 $\hat{A}$ + sin2 $\hat{A}$ = $\frac{b^2}{c^2}$ + $\frac{a^2}{c^2}$ = $\frac{b^2 + a^2}{c^2}$ comme  $c^2=b^2 + a^2$ (car ABC est un triangle rectangle en C)

on a : cos2$\hat{A}$ + sin2 $\hat{A}$ = $\frac{c^2}{c^2}$ = 1

  cos2 $\hat{A}$ + sin2 $\hat{A}$ =1

        Conclusion

Pour tout angle aigu $\hat{A}$ on a :

        cos2 $\hat{A}$ + sin2 $\hat{A}$ =1 ; tan$\hat{A}$=$\frac{sin\hat{A}}{cos\hat{A}}$   ($\hat{A}$≠90°)

 

B.  Valeurs remarquables

Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A

1)Calculer BC

2)Calculer cos$\hat{B}$ ;  sin$\hat{B}$ ; tan$\hat{B}$

$cos\hat{B}=\frac{a}{b}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ alors $cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$

 

$tan\hat{B}=\frac{sin\hat{B}}{cos\hat{B}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

 Alors

$sin\hat{B}=\frac{a}{b}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

 

 Alors $sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$

 

$BC^2=AB^2+AC^2$

$b^2=a^2+a^2$

$b^2=2a^2$

$b=\sqrt{2a^2}$

$b=2\sqrt{2a}$

                          

     

                                                          Tableau Récapitulatif

$\hat{A}$ 30° 45° 60° 90°
$sin\hat{B}$ 0 $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 1
$cos\hat{B}$ 1 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ 0
$tan\hat{B}$ 0 $\frac{1}{\sqrt{3}}$  1 $\sqrt{3}$ n'existe pas

       

Formules

$\cos\hat{B}=\frac{Côté\; adjacent}{Hypoténuse}=\frac{BC}{BA}$

$\sin\hat{B}=\frac{Côté \;opposé}{Hypoténuse}=\frac{AC}{BA}$

$\tan\hat{B}=\frac{Côté \;opposé}{Côté\; adjacent}=\frac{AC}{BC}$

$\cos^2\hat{B}+\sin^2\hat{B}=1$

$\tan\hat{B}=\frac{\sin\hat{B}}{\cos\hat{B}}\;(\hat{B} \ne 90^o)$

$\cos\hat{B}=\sin\hat{A}$ ; $\cos\hat{A}=\sin\hat{B}$;