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Angles Inscrits

I.  Angle inscrit et Angle au centre associé

A.  Rappels

                         fd   

  Soit le cercle de centre O
  -Une Corde est le segment liant deux points du cercle.
   Exemple : [EF]

-Un diamètre est une corde passant par le centre du cercle. Exemple :[AB]
-Un rayon est tout segment liant le centre et un point du cercle. Exemple :[OC]
- L’arc de cercle est la portion du cercle comprise entre deux points du cercle.
Exemple : $\widehat{EF}$

B.  Activité

Tracer un cercle (C) de centre O .

Soit A et B deux points distincts de (C ) . Placer un

point M sur le cercle distinct de A et de B et mesurer $\widehat{AMB}$ et $\widehat{AOB}$ dans les cas suivants :
   a) $\widehat{AMB}$ est un angle aigu
   b) $\widehat{AOB}$ est un angle obtus

Remarque

 photo    hu

      $\widehat{AMB}$ =38,66°̂                                                $\widehat{AMB}$=111,3°
     $\widehat{AOB}$=77,32°                                                  $\widehat{AOB}$ =222,61°
       On remarque que dans tous les deux cas $\widehat{AOB}$ =2$\widehat{AMB}$

C.  Définition

L’ angle $\widehat{AMB}$ est appelé angle INSCRIT dans le cercle ( C ). On dit qu’il intercepte
l’arc $\widehat{AB}$.
$\widehat{AOB}$ est un angle AU CENTRE ASSOCIE car il intercepte le même arc que
l'angle $\widehat{AMB}$  et son sommet O est le centre du cercle.

 

D.  Théorème de l’angle inscrit

Soit un cercle de centre O. Si A ; B ; M sont trois points distincts de ce cercle , alors
$\widehat{AMB}$ = $\widehat{AOB}$ 

 

1.  Exercice d’application

On donne le triangle ABC et son cercle circonscrit de centre O.
$\widehat{ABC}$=50°  ; $\widehat{BCA}$̂ = 70° .
 Calculer $\widehat{BOC}$

exer_1

2.  Application : Triangle inscrit dans un demi – cercle

a - Activité
Soit un cercle de centre O. [AB] de diamètre et M un point du cercle .
Démontrer que AMB est un triangle rectangle.
Réponse

hu_2

$\widehat{AMB}$ est un angle inscrit interceptant l’arc AB et $\widehat{AOB}$̂ est un angle au centre associé interceptant le même arc AB , on a :

 $\widehat{AOB}$̂ = 2 $\widehat{AMB}$  ; $\widehat{AMB}$  =$\frac{\widehat{AOB}}{2}$ ; $\widehat{AMB}$ =$\frac{180}{2}$ =90o

Alos le trangle AMB est rectangle en M.

b - Propriété

Si un triangle AMB est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [AB] alors AMB est un triangle rectangle M.

II.  Angles inscrits interceptant le même arc

A.  Activité

Tracer un cercle de centre O ,placer deux points distinct A et B sur ce cercle . Placer les points E ; F et M sur le grand arc AB et mesurer les angles $\widehat{AEB}$; $\widehat{AFB}$ et $\widehat{AMB}$. Que remarque t-on ?

Reponse

uh

$\widehat{AEB}$ = 35,78° ; $\widehat{AFB}$= 35,78° et $\widehat{AMB}$ =35,78°.
On remarque que $\widehat{AEB}$; $\widehat{AFB}$ et $\widehat{AMB}$ sont des angles inscrits interceptant le même arc et qu’ils sont égaux.

B.  Propriété

Si deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils sont égaux.