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Equations différentielles

I.  Introduction

 La résolution de certains problèmes mécaniques conduit à la notion d’équations différentielles.
Après l’introduction du calcul infinitésimal, l’analyse de certains phénomènes faisant intervenir une fonction et ses dérivés aboutissent à l’établissement des équations différentielles. Jacque Bernoulli est le premier à résoudre une équation différentielle. Si Ricahi par la résolution introduit la méthode de séparation des variables, Euler par l’intermédiaire des problèmes et d’élasticité étudie les équations de second ordre et des équations linéaires à coefficient constant.
Au $XVIII^è$ siècle, les équations différentielles se détachent de leur contenu physique et devient un objet d'étude en soit. Cauchy établit l’unité et l’existence des solutions vérifiant certaines conditions initiales.
La théorie générale des équations différentielles est encore en étude par de nombreux mathématiciens. De nos jours, les équations différentielles sont utilisées en biologie, en physique, en économie, en mécanique, en médecine, …

II.  Les équations différentielles

A.  Définition

 On appelle équation différentielle, toute équation comportant en variable, une fonction numérique et sa derivée première ou seconde.
Soit $f$ une fonction numérique définie et dérivable sur un intervalle réel  $I$. Toute équation du type $f'(x) + af(x)=0$ ou $f"(x) + \omega^{2} f(x) =0$  où $a$ et $\omega$ sont des réel, est une équation différentielle. Par convention on note souvent $y$ au lieu de $f$. Ce qui donne plus simplement $y' + ay = 0 $ ou $y" + \omega^{2} y = 0 $. On appelle solution d’une équation différentielle ou intégrale, l’ensemble des fonctions vérifiant cette équation.

B.  Equations différentielles linéaires du premier ordre à coefficient constant sans second membre

1.  Définition

On appelle équation différentielle du premier ordre à coefficient constant sans second membre, toute équation comportant en variable, une fonction et sa dérivée première. Ce sont les équation du type $y' + ay = 0$ où $y$ est une fonction et $a$ un réel.

 Exemple

 $(E):\; y' - 5y = 0$ où $(E’):\; y’+3y= 0$ , sont des équations différentielles du premier ordre à coefficient constant sans second membre.

2.  Résolution

a) Solution générale

Résoudre l’équation différentielle $y’+ay=0$ c’est trouver l'ensemble des fontions f dérivables sur $\mathbb{R}$ et vérifiant $\mathbf{f’(x)+af(x)=0\;\forall{x}\in{\mathbb{R}}}$. L’ensemble des solutions de cette équation est appelé solution générale et noté $ ke^{-ax}$ où $ k \in \mathbb{R} $.

 b)Solution de l'équation  $y’+ay=0$ verifiant la condition initiale $y(x_0) = y_0$

Théorème

Des solutions de l’équation différentielle $y’+ay=0$ , il existe une et une seule solution vérifiant la condition initiale donnée $y(x_0)=y_0$ ou $M(x_0;\;y_0)$ un point de la courbe représentative de la fonction $f$ trouvée.

 Cette unique solution, appelée solution particulière est la fonction $x \mapsto y_0 e^{-a(x-x_0)}$

Exemple

Resoudre l'equation différentielle suivante $2y'-y=0$ verifiant  $y(0) = -3$

-La solution générale de cette equation différentielle est l'ensemble des fonctions $f$ tel que $f(x)=ke^{\frac{1}{2}x}$ avec $k \in \mathbb{R}$. La solution particulière est telle que : $f(0) = -3$. Ainsi  $k=-3$ et $f(x)=-3 e^{\frac{1}{2}x}$

 

C.  Equations différentielles linéaires du second ordre sans second membre de la forme $y"+\omega^2y=0$

1.  Définition

Toute équation de la forme $y"+\omega^2y=0$ ou $y"- \omega^2y=0$   est appelée équation différentielle linéaire du second ordre à coefficient constant sans second membre.

Exemple

$y’’-3y=0$  $y"+y=0$ sont des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficient constant sans second membre.

2.  Résolution

a) Solution générale

La resolution des équations différentielles du second ordre sans second membre renvoie à deux cas:

Si l'équation est de la forme $y"- \omega^2y=0$  ($\omega \in \mathbb{R}$) alors  l'ensemble solution sont les fonctions $x \mapsto Ae^{\omega x}+B e^{- \omega x}$   avec A et B des réels.

Si l'équation est de la forme $y"+ \omega^2y=0$  ($\omega \in \mathbb{R}$) alors  l'ensemble solution sont les fonctions $x \mapsto A \cos(\omega x) + B \sin (\omega x)$   avec A et B des réels.

b) Solution particulière

De l'ensemble des fonctions solutions de l'équation diferentielle  $y"- \omega^2y=0$ ou $y"+ \omega^2y=0$ il existe une unique verifiant les conditions initiales $y(x_0)=y_0$ et $y'(x_0)=z_0$. 

Exemple

Resoudre l'équation différentielle (E): y"-4y=0 verifiant y'(0)=2  et y(0)=0                                                            

La solution générale est $f(x)=Ae^{2x}+B e^{-2x}$ où A et B sont des réels. La solution particulière est telle que f(0)=0 et f'(0)=1. Ainsi $A=\frac{1}{2}$   et $B=-- \frac{1}{2}$ d'ou $ f(x)= \frac{1}{2} (e^{2x} - e^{-2x})$

 

D.  Equation differentielle linéaire à coefficients constants avec second membre

1.  Definition

On appelle équation différentielle linéaire avec second membre toute équation du type $y'+ay=f(x)$ ou $y"+\omega y=f(x)$ avec $f$ une fonction numérique.

Pour resoudre de telles équations on suivra l'enoncé. 

2.  Resolution

Théorème

Soit $(E):y'+ay=f(x)$ une équation différentielle linéaire du premier dégré avec second membre et $ (E_0):y'+ay=0$ l'éqation homogène associée. L'ensemble solution $y$ de l'équation (E) est la somme de la solution générale $y_H$ de l'équation homogène $(E_O)$ et d'une solution particulière $y_P$ de $(E)$.  $y=y_H+y_P$.

3.  Exemple pratique

Exercice

Soit l'équation différetielle $(E): y'+2y=2x^2-5  $

  1. Résoudre l'équation différentielle $(E_0):  y'+2y=0$
  2. Determiner une fonction polynôme du second dégré $g$ solution de   $(E)$.
  3. Demontrer qu'une fonction $h$ est solution de (E) si et seulement si  $ h-g$  est solution de $(E_0)$.
  4. En deduire les solutions de l'équation différentielle (E). 

 

Solution

  1. Résolvons $(E_0)$.
    Soit $f$ la solution générale de l'équation  $(E_0)$. 
    $f(x)=k e^{-2x}$ ;  $k \in \mathbb{R}$  .

  2. La fonction $g(x)=ax^2+bx+c$ ; a, b et c des réels tels que $a≠0$ est solution de  $(E)$ signifie que
    $g'(x)+2g(x)=2x^2-5$
    $g$ est un polynome derivable sur $\mathbb{R}$ et $g'(x)=2ax+b$
    $g'(x)+3g(x)=2x^2-5$ ⇒ $2ax+b+2ax^2+2bx+2c$ $=2x^2-5$
    ⇒$2ax^2+(2a+2b)x+b+2c$ $=\;2x^2-5$

    Par identification, on a
    $2a=2$ , $2(a+b)=0$ et $b+2c=-5$   .
    Finalement $a=1$, $b=-1$ et $c=-2$.

    Donc $g(x)=x^2-x-2$

  3. Demontrons que $h$  est solution de $(E)$ ⇔ $h-g$ est solution de $(E_0)$.
    ⇒ Soit $h$ solution de $(E)$, motrons que $ h-g$ est solution de $(E_0)$.
    $h$ solution de $(E)$,  $h'(x)+h(x)=2x^2-5$ . Or de la question 2.) $g'(x)+g(x)=2x^2-5$

    Par identification on a $h'(x)+h(x)=g'(x)+g(x)$ ce qui donne $h'(x)+h(x)-g'(x)-g(x)=0$
    $(h'-g')(x)-(h-g)(x)=0$ d'ou $ h-g$ est solution de $(E_0)$.
    Soit $ h-g$ est solution de $(E_0)$, montrons que $h$  est solution de $(E)$
    Soit $h$ solution $(E)$, $h'(x)+h(x)-g'(x)-g(x)=0$ ce qui donne   
    $h'(x)+h(x)=g'(x)+g(x)$
    Or   $g'(x)+g(x)=2x^2-5$ donc  $h'(x)+h(x)=2x^2-5$, $h$  est solution de $(E)$.

    Ce qu'il fallait demontrer.

  4. Les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
    De la réponse précedente $h$  est solution de $(E)$ ⇔ $h-g$ est solution de $(E_0)$.$f$ solution générale de $(E)$ et  $h-g$ il vient que $f=h-g$ d'ou la solution générale de $(E)$ est $h=f+g$.
    $h(x)=k e^{-2x}+x^2-x-2$