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Positions Relatives d'une Droite et d'un Cercle

I.  Position relative d’une droite et d’un cercle

A.  Activité

Soit $(D)$ une droite et O un point du plan. Soit $(C)$ un cercle de centre O de rayon
r=3cm. H est le projeté orthogonale de O sur $(D)$. On note d=OH. Faire la figure dans
les cas suivants :

a) d=4
b) d=2
c) d=3


Reponse
a) d=OH=4     

                             

$(D)$ et $(C)$ n’ont aucun point commun ;on note : $(D)$ ∩$(C )$ =∅.

On dit que $(D)$est à l’extérieur de $(C )$

H est le seul point commun à $(C)$ et à $(D)$.On note: $(D)$ ∩$(C )$ ={H}
On dit que $(D)$ est TANGENTE en H au cercle $(C )$ ; on dit aussi que H est le point
de Tangence.

b) d=2<R

A et B sont les points communs à $(C )$ et à $(D)$.On note: $(D)$ ∩$(C )$ ={A ;B} ; on dit que
$(D)$ est sécante à $(C )$.

B.  Propriété

- Une droite est extérieure à un cercle si sa distance au centre est strictement
supérieure au rayon du cercle.
- Une droite est dite tangente à un cercle si sa distance au centre du cercle est égale
au rayon de ce cercle.
- Une droite est dite sécante à un cercle si la distance au centre du cercle est
inférieure au rayon de ce cercle.

II.  Tangente en un point ;construction

A.  Unicité de la tangente

Soit $(C)$ un centre de centre O. Le cercle$(C)$ admet en tout point M une tangente et
une seule ; c’est la perpendiculaire en M à la droite (OM).

B.  Méthode de construction

Soit $(C)$ un cercle de centre O et de rayon r . Soit A un point quelconque du plan.
Construire une tangente $(T)$ au cercle passant par A dans les cas suivants :
a)A est un point du cercle $(C)$
b)A est un point à l’extérieur du cercle $(C)$
Réponse
a)A sur le cercle $(C)$

On a une seule Tangente
b)A est à l’extérieur du cercle

On a deux Tangentes (AB) et (AB’)
C)A est à l’intérieur du cercle

Toute droite passant par A coupe le cercle en deux points ; il est donc impossible de
construire une tangente passant par A.