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Théorème de Pythagore

I.  Relations métriques dans un triangle rectangle

A.  Activité

Construire un triangle $ABC$ rectangle en A. Construire l’hauteur $[AH]$.

1) Ecrire le rapport de projection orthogonale de la droite $(BA)$ sur $(BC)$.

2) Ecrire le rapport de projection orthogonale de la droite $(BC)$ sur $(BA)$.

3) Etablir une égalité entre les deux rapports de projection orthogonaux.

      Réponse

         1111

Soit P le projection orthogonal de $(BA)$ sur $(BC)$ et k son rapport.
On a : $P(B)=B ; P(A)= H$  alors k=$\frac{BH}{BA}$

Soit P’ le projection orthogonal de $(BC)$ sur $(BA)$ et k’ son rapport.
On a : $P(B)=B ; P(C)= A$  alors k’=$\frac{BA}{BC}$

Comme k=k’ on a $\frac{BH}{BA} \Longleftrightarrow  BA^2= BH \times BC$

B.  Première relation métrique dans le triangle rectangle

Théorème

Etant donné un triangle $ABC$ de hauteur $[AH]$ , si $ABC$ est rectangle en $A$ alors : $BA^2= BH \times BC$

Remarque :
En utilisant le même triangle et en exprimant le rapport de projection de (CA) sur (CB) , de (CB) sur (CA) et sachant que les rapports k et k’ sont égaux on aura :

K=$\frac{CH}{CA}$ et k'=$\frac{CA}{CB}$

$\frac{CH}{CA}$= $\frac{CA}{CB}$ ⇔ $CA^2= CH × CB$

Exercice d ‘application
Soit ABC un triangle rectangle en A de hauteur [AH] tel que BC=8 et BH=2
Calculer $BA$ et $CA$ .

II.  Théorème de Pythagore et sa réciproque

A.  Théorème de Pythagore

1.  Activité

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ de hauteur $[AH]$. A l‘aide des relations métriques dans le triangle rectangle  $BA^2= BH \times BC$ et  $CA^2=CH \times CB$ exprimer $BC$ en fonction de $CA$ et $BA$

Réponse
$BA^2=  BH \times BC$

$CA^2  =  CH \times CB$
En additionnant membre à membre on a: 
$BA^2+CA^2 = BH \times BC + CH \times CB$
$BA^2+CA^2 = BC( BH + CH )$
$BA^2+CA^2 = BC \times BC$
$BA^2 + CA^2 = BC^2$ 

2.  Théorème de Pythagore

Dans un triangle le carré de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des côtes perpendiculaires. Alors si ABC est un triangle rectangle en A on a :
$BC^2=AB^2+AC^2$

 

Exercice d’application
ABC est un triangle rectangle en A . Trouver la mesure du troisième côté dans les cas suivants :

  1. AC=5cm ; BA=3cm
  2. AB=4cm ; BC=  6cm

B.  Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle on a $BC^2=AB^2+AC^2$ alors ABC est un triangle rectangle en A

Exercice d’application
Soit un triangle ABC ; donner la nature de ce triangle dans les cas suivants :

  1. AB=5cm ;  AC= 12cm ;  BC=13Cm
  2. AB=7Cm ;   AC=12Cm   ;  BC=$\sqrt{95}$

III.  Autres relations métriques dans le triangle rectangle

A.  Activité 1

Soit ABC un triangle rectangle en A et [AH] son hauteur.

          a) Calculer la surface du triangle dans les deux représentations 1 et 2

          b) Quelle relation peut –on déduire des deux calculs?

Reponse

Capture_1     4444                               

a)  S1= $\frac{BC \times AH}{2}$                                  S2=$\frac{AC \times AB}{2}$

b)  S1=S2 $\Longleftrightarrow \frac{BC \times AH}{2} =\frac{AC \times AB}{2} \Longleftrightarrow ( BC \times AH )=(AC \times AB)$

B.  Activité 2

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ de hauteur $[AH]$ tel que $AB = 4$ ; $AC=4\sqrt{3}$  et $BC =8$.

            a) Calculer $[AH]$ en utilisant la relation $BC \times AH= AC \times AB$.

            b) Calculer $HB$ et $HC$ en considérant les triangle $BHA$ et $AHC$.

            c) Calculer et comparer $AH^2$ et $HB \times HC$.

Réponse

666

a) calculons AH

$BC \times AH=AC \times AB $  $AH=\frac{AC \times AB}{BC}$ ;  AH=$\frac{4\sqrt{3} \times 4}{8}$; AH=$2\sqrt{3}$.

b)Calculons HB et HC.

Considérons le triangle rectangle BHA :

$AH^2 +HB^2=AB^2$    ;    $HB^2= AB^2- AH^2$    ;   $HB^2=4^2 –(2\sqrt{3})$ ; $HB^2=16 -12$   ;  $HB^2=4$  ; $HB=\sqrt{4}$  ;

Considérons le triangle rectangle CHA :

$AH^2 +HC^2=AC^2$    ;    $HC^2= AC^2- AH^2$  ;   $HC^2=(4\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2$  ;  $HC^2=36$  ;  $HC= \sqrt{36}$  ;  $HC=6$

c) calculons

$AH^2 =(2\sqrt{3})^2=4 \times 3=12$

$HB \times HC= 2 \times 6= 12$

Alors

$AH^2=HB \times HC$    

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C.  Relatons Métriques

Théorème

Etant donné un triangle ABC de hauteur [AH], si ABC est rectangle en A alors:
$AC$ x $AB=BC$ x $AH$
$AH^2=HB$ x $HC$

IV.  Application du théorème de Pythagore

A.  Carré

ABCD est un carré de côté a . Déterminer la mesure de la diagonale d.

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Considérons le triangle ABC rectangle en B

$AC^2= AB^2+BC^2;\; d^2 = a^2+ a^2;\; d^2= 2a^2;$

d=a$\sqrt{2}$

B.  Triangle équilatéral

ABC est un triangle équilatéral de côté a .  Déterminer la mesure de la hauteur h.

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     Considérons le triangle ACH

$\mathbf{AC^2=AH^2 + CH^2\;;\; a^2= (\frac{a}{2})^2+h^2 \;;\; h^2=a^2-\frac{a^2}{4} \;;\; h^2=\frac{3a^2}{4} \;;\; h=\sqrt{\frac{3a^2}{4}} \;;\; h=a\frac{\sqrt{3}}{2}}$

C.  Distance d’un point à une droite

1.  activité

Soit une droite (D) et M un point n’appartenant pas à (D) ; H est le projeté orthogonal de M sur (D).

Placer les points A ; B et C sur (D) et déterminer la plus petite distance de M à (D).

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La distance MH est la plus courte distance de M à (D).

2.  Définition

La distance d’un point M à une droite (D) est la plus courte des distances du point à la droite (D).

3.  Propriété

La distance d’un point M à une droite (D) est la distance de ce point à son projeté orthogonal H sur (D).