Chapitre 1: Les Nombres Réels - Mathématiques Troisième | DigiClass
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Les Nombres Réels

I.  Rappels sur les ensembles de Nombres

       Les différents ensembles que nous connaissons jusqu'à présent sont : 

  • $N$ est l’ensemble des entiers Naturels
    $N$= { 0 ; 1 ;2 ;3 ; 4 ;5 ;....; .100; 10000 .....etc};
  • $Z$ est l’ensemble des entiers relatifs $Z$ = $Z$+ ⋃  $Z$ -
    $Z$ ={....... -6 ; -2 ; 0 ;  +3; +100 ; +99999.......};
  • $D$ est l’ensemble des décimaux relatifs. $D$ = $D$ + ⋃ $D$ -
    $D$={ +4,5 ; -7,23......};
  • $Q$ est l’ensemble des nombres Rationnels
    Ex : $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{9}{10}$;$\frac{-4}{9}$;
  • $R$ est l’ensemble des nombres réels
    Ex: $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{7}$; $\frac{1}{13}$; $0; -1; 5; \pi $
  • $NB$ : $N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$

II.  Intervalles de R

A.  Activité

Tracer une droite graduée (D) (unité 1Cm)
a) Placer les nombres suivants sur (D): -3 ; 2 ; 5 ; 6.
b) Colorier en rouge la partie de la droite où se situent les nombres strictement compris entre 2 et 5
c) Colorier en vert la partie de la droite où se situent les nombres strictement inférieurs à -3
d) Colorier en bleu la partie de la droite où se situent les nombres strictement supérieurs à 6

Résolution

droite_graduée

Remarque : les trois ensembles tracés en rouge, en bleu et en vert représentent des intervalles :

  • Les nombres réels compris entre 2 et 5 forment un intervalle noté ]2 ; 5[ qui se lit “intervalle ouvert en 2 et 5

  • Les nombres inférieurs à -3 forment un intervalle noté ]-∞ ; -3[ qui se lit “intervalle ouvert de moins infini à -3

  • Les nombres strictements supérieurs à 6 forment un intervalle noté ]6 ;+∞ [ qui se lit “intervalle ouvert de 6 à plus infini

B.  Types d’intervalles

1.  Intervalles Ouverts

Pour deux nombres réels a et b , l’ensemble des nombres réels x tel que a

 

intervall_ouvert

a et b n’appartiennent pas à l’intervalle ]a ;b[

2.  Intervalles fermés

Pour deux nombres réels a et b , l’ensemble des nombres réels x tel que a≤ x ≤b est un intervalle fermé d’origine a et d’extrémité b . On note [a ;b] qui se lit "intervalle fermé en a et b."
Sa représentation est :

interval_ferme

a et b appartiennent à l’intervalle [a ;b]

3.  Intervalle semi fermé (semi-ouvert)

Pour deux nombres réels a et b , l’ensemble des nombres réels x tel que a≤ x<b
intervalle semi-fermé d’origine a et d’extrémité b . On note [a ;b[ qui se lit "intervalle fermé en a et ouvert  en b."
Sa représentation est :

semi_ouvert

a appartient à l’intervalle [a ;b[ mais b ne l’appartient pas

4.  Intervalle illimité

a étant un réel, l’ensemble des réels x tel que x ≥ a est un intervalle illimité à droite contenant a. on note [a ; +∞[ qui se lit "intervalle fermé en a jusqu'à plus infini ".

Sa répresentation est :

intervall illimité

L’ensemble des réels x tel que x ≤ a est un intervalle illimité à gauche contenant a.
On note ]-∞ ; a ] qui se lit de moins l'infini jusqu'a l'intervalle  fermé en a.

Sa représentation est :

intervall_illimite2

L’ensemble des réels x tel que x < a est un intervalle illimité à gauche ne contenant pas a. On le note : ]-∞ ; a[.

Sa représentation est :

illimite3

Attention :

  • Ne ferme jamais un intervalle au niveau de -∞ et +∞ ; 
  •  Avec les symboles ≤ et ≥ les intervalles sont fermés au niveau des nombres réels;
  •  Avec les symboles < et > les intervalles sont ouverts au niveau des nombres réels.

Exercice d’application

1) Ecrire sous forme d’intervalles , chacun des ensembles de nombres défini ci-dessous.

  1.  $-3 ≤ x ≤  \frac{9}{2}$ ; 
  2.  $17 ≤ x$ ; 
  3.  $x ≥ -5.3$; 
  4.  $-6 < x< \frac{13}{2}$; 
  5.  $-4< x ≤11$; 
  6.  $x < -2$.

2) Traduire à l’aide d’une égalité l’appartenance de $x$ a chacun des intervalles ci-dessous.

  1.  $x \subset [0 ; +∞[ $;
  2.  $x \subset[-45 ; \frac{24}{3}[ $;
  3.  $x \subset]-∞ ; 3[ $;
  4.  $x \subset[3 ; 15] $.


3)Donner la représentation graphique des intervalles suivants:

  1.   $x \subset[1 ; +∞[$ ;
  2.   $x \subset]-∞ ;-1[ $;
  3.   $x \subset]1; 4[$.


NB :Hachurer la partie non concernée par l’intervalle.

III.  Encadrement

A.  Encadrement d’une somme

1.  Propriété

Propriété

Etant donné les réels $a$  , $a’$  , b ,  b’ , $ x $ et  $ x’$ ;
Si $a < x < b $ et $a’ <x’< b’$ alors $a + a’ < x + x’  < b +b’ $

2.  Exemple

1) On donne $-2< x < 9 $ et $ 3 < x' < 5$ trouver l'encadrement de $ x + x'$
2) On a :$3,14< π <3,15$ trouver un encadrement de $π+1 ; π-3$

B.  Encadrement d’un produit

1.  Propriété

Propriété

Etant donné les réels positifs : $a, a’, b, b’, x$  et $x’$, Si $a< x <b$ et $a'< x <b'$ alors $a.a'< x.x' <b.b'$.


  Remarque :

  Soit $m$ un réel;

  • si $a< x <b$ et  $m > 0$ alors $a.m < x. m<b.m$
  • si $a< x < b$ et  $m < 0$ alors $b.m < x. m < m.a$

2.  Exemple

On donne $3< x <4$ et $9< y < 14$ ; trouver l’encadrement de $xy$

C.  Encadrement de l’opposé

1.  Propriété

Etant donné des réel : $ a, b$ et $x$. Si $a< x < b$ et $-b < -x < -a$.

2.  Exemple

 Soit $ 3 < x < 5$. Quel est l'encadrement de -x ?

D.  Encadrement d’une différence

1.  Propriété

Etant donné les réels $ a , b , c , d , x $ et $y$. Si $a< x < b$ et  $c< y< d$, pour trouver l'encadrement de $x-y $, il faut:
- savoir que $x-y =x+(-y)$
- Encadrer d'abord $–y$ puis ensuite $x+(-y)$
$c< y< d$
$-d< -y< -c$
$a< x <b$ alors $a-d< x-y <b-c$

2.  Exemple

Soient $1,5 < x <3 $ et $ 0,4 < x <0,8 $ .Encadrer $x - y$.

  xy

IV.  Valeur absolue – Distance

A.  Valeur absolue d’un nombre réel

1.  Activité

Compléter le tableau suivant:

a 4 -5 7,4 -11,2 0
-a -4 5 -7,4 11,2 0
ΙaΙ 4 5 7,4 11,2 0

 

  • Ecrire une égalité entre |a| , a et -a suivant le signe de a.

2.  Définition

On appelle valeur absolue d’un nombre réel $x$ le réel noté $|x|$ défini par :
*$|x|=x$ si $x≥0$
*$|x|= -x$ si $ x≤0$

3.  Conséquences de la définition

Pour tout réel $x$, on a :

  • $|x|≥0$
  • $|x|=0$ si $x=0$
  • $X=0$ si  $ |x|=0$

B.  Ecriture d’une expression sans le symbole de valeur absolue

1.  Propriété

Pour écrire $|ax +b|$ sans symbole de valeur absolue il faut suivre le principe suivant:

$\rightarrow |ax+b|=ax+b$ si $ax+b≥ 0$ c’est-à-dire si $x≥ \frac{-b}{a}$ ou si $x∈ [\frac{-b}{a}; +∞[$
$\rightarrow |ax +b|=-(ax +b)=-ax-b$ si $ax+b≤ 0$ c’est-à-dire si $x≤ \frac{-b}{a}$ ou si $x∈] − ∞; \frac{-b}{a}]$

On établit ensuite le tableau comme celui-ci-dessous :

$x$
$-\infty$ $\frac{-b}{a}$ $+\infty$
$|ax+b|$ $-ax-b$ $ax+b$

On donne en fin les réponses

Pour $x ∈] − ∞; \frac{-b}{a} ] ;|ax+b|=-ax-b$
Pour $x∈ [ \frac{-b}{a}; +∞[ ;|ax+b|=ax+b$

2.  Exemple

Exemple 1 : Ecrire sans le symbole de valeur absolue : $|2x+5| ; |-5x+1|$
Exemple 2 : Ecrire sans le symbole de valeur absolue : $A=|2x-1|+|-x+4|$ ;$B=|-1+x|+|5-2x|$

C.  Distance entre deux réels

1.  Activité

Soit $(D)$ une droite graduée ; placer sur les points $A ; B ; C$ et $D$ tels $A(+4) ; B(-5) ; C(+ 3)$ et $D(-6)$.
Calculer les distances $AB ; BC ; CD$

distance

Calculons :
$AB=|x_{B} –x_{A} |=|-5-4| = |-9|=9$
$BC=|x_{C} –x_{B} |=|3+5| = |8|=8$
$CD=|x_{D} –x_{C} |=|-6-3| = |-9|=9$

2.  Définition

Soit a et b deux réels. On note $A $ et $ B$ les points d’abscisses respectives $a$ et $b$ sur une
droite graduée.
On appelle distance des réels $a$ et $b$ le réel $|a-b|$ ; on le note $d(a ;b)$. on a :
$d(a ;b)=|b-a|=AB$

Exemple

Soient a(-7) et b(4), $AB = d(-7;4) = |4-(-7)| = 11$

3.  Conséquences de la définition

pour tous réels a et b,
*si $a=b$ alors $d(a ;b)=0$
*si $d(a ;b)=0$ alors $a=b$
*$d(a ;b)≥0$ la distance est toujours positive
*$d(a ;b)= d(b ;a)$ c'est-à-dire $AB = BA$