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Monômes - Polynômes

I.  Rappels

A.  Application Monômes

On appelle une application monôme toute application définie par :
         $ f : R ⟶ R$
               $x ⟼ f(x)= ax^n$   avec  $a$  le coefficient, $x$ la variable réelle et $n$ le degré du monôme.

Exemple

$g(x)=4x^2$ est un monôme : 4 est le coefficient; x est la variable ; 2 est le degré.

B.  Application polynôme

On appelle polynôme une somme de monômes définie par :
                         $g : R⟶R$
                               $x ↦ g(x)= ax^n+ bx^n-1+ cx^n-2 + ......... + k.$

Le degré d’un polynôme est le degré le plus grand des monômes du polynôme.

Exemple

$h(x)= 3x^4 + 7x^3 + 2x^2 + x + 9$ ; 4 est le degré du polynôme.

C.  Factorisation

Factoriser revient à rechercher un facteur commun , c'est-à-dire un élément commun à chque groupe dans le polynome.

Exemple

$(2x-3)(x+1)-(x+9)(2x-3)$

 

Ce polynome est divisé en deux groupes $(2x-3)(x+1)$ et $(x+9)(2x-3)$. L'élément commun aux deux groupes est $(2x-3)$.

Ainsi

$(2x-3)(x+1)-(x+9)(2x-3)$

$(2x-3)[(x+1)-(x+9)]$

$(2x-3)[(x+1-x-9]$

$(2x-3)(-8) = -8(2x-3)$

 

II.  Opérations sur les polynômes

A.  Rappels

$(a+b)^2 =a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(a+b)(a-b)= a^2 – b^2$

B.  Développement d’un polynôme

Définition

Développer un polynôme c’est transformer une expréssion du polynôme en une somme de monômes.

Exemple:

1) Développer puis réduire les polynômes suivants

$A(x)= 3x(5x^2 + 2x^-2)+(x+4)(3x+7)$

$B(x)=(3x+5)(6x-4)$

2) Développer en utilisant les identités remarquables

$F(x)=(3x+5)^2 +(x+7)(x-7)$

$G(x)=(2x-1)^2 – (4x+1)(4x-1)$

C.  Factorisation d’un polynôme

Définition

Factoriser revient à rechercher un facteur commun. C'est-à-dire un élément commun à chaque groupe dans le polynôme.

1 - Recherche de facteurs communs

Exemple 1

$A(x)= (2x-3)(x+1)-(x+9)(2x-3)$

 Resolution

Ce polynôme est divisé en deux groupes $(2x-3)(x+1)$ et $(x+9)(2x-3)$. L'élément commun aux deux groupes est $(2x-3)$

Ainsi: $A(x)$$= (2x-3)(x+1)-(x+9)(2x-3)\\=(2x-3)[(x+1)-(x+9)]\\=(2x-3)(x+1-x-9)\\=(2x-3)(-8)$

          $A(x)= -8(2x-3)$

Exemple 2

$B(x)= (2x-5)$$(1+x)$-$2(7x-1)$$(2x-5)$ + $2x-5$

 

2 - Recherche de facteurs communs cachés

Exemple

Factoriser
$F(x)=(2x+4)$$(x-1)$+$(3x+7)$$(x+2)$
$G(x)=(2x+1)$$(3-x)$+$(1+x)$$(-1-2x)$ +$2x^2$ +$x$

 

3 - Utilisation des produit remarquables

Exemple

Factoriser
$H(x)=25x^2 -30x +9$
$J(x)=(x+5)^2 -(7x-3)^2$
$I(x)= 49x^2 +14x +1$

 

4 - Utilisation de factorisation partielles

Exemple

$k(x)=4x^4 -16x^3 +16x^2$
$l(x)= 7x- 7y +2ax-2ay$

 

D.  Addition et multiplication d’applications polynômes

1 - Addition

Soient $f(x)=x^2 +10x +25$ et $g(x)=2x^3 +x^2 +5x +1$.
Calculer le polynôme $k(x)= f(x) + g(x)$

Réponse:
$k(x)=2x^3+ 2x^2 + 15x +26$

La somme de deux applications polynômes est une application polynôme.

2 -  Multiplication

Soient $f(x)=x^2 +2x +1$ et $g(x)=(3x+1)$.
Calculer $h(x)=f(x) * g(x)$

Réponse:
$h(x)=3x^3 +7x^2 +5x +1$

Conclusion :
Le produit de deux applications polynômes est une application polynôme.