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Fonctions exponentielles

I.  Introduction

 Pour écrire les grands nombres, les mathématiciens ont très vite utilisé les exposants . Dès l'antiquité, les Grècs utilisent les exposants et multiplient les puissances. Les arabes utilisent des puissance négatives et posent $\mathbf{x^0=1}$.
 Oresme introduit les puissances rationnelles au $XIV^{e}$ siècle. Cependant, les notations de ces mathématiciens sont mal aisées. C'est en 1484 que la notion exponentielle est introduite par Chuquet et qui sera reprise par Bombelli en 1560 avec quelques variantes.
 Il faut attendre la notation de fonction pour qu'elle soit clairement définie par Euler, les fonctions exponentielles qu'il appelle fonctions algebriques. Les fonctions exponentielles décrirent de nombreux phénomène. Elles jouent un rôle important tant dans la théorie que dans la pratique, en particulier , en biologie, en économie, en sociologie, en chimie, ...

II.  Définition-Propriétés de la fonction exponentielle

A.  Définition

La fonction $\ln$ est une bijection de $\mathbb{R^*}$ dans $\mathbb{R^*}$. Elle admet alors une bijection réciproque de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R^*}$.
                On appelle fonction exponentielle notée $\mathbf{exp}$ la bijection réciproque de la fonction $\ln$ définie de $\mathbb{R}\to{\mathbb{R^*_+}}$ et $\forall{x\in{\mathbb{R}}}$ ; on la note $\mathbf{exp(x)}$ ou $\mathbf{expx}$

B.  Conséquence de la définition

$\forall{x\in{\mathbb{R}}}$ ; $\mathbf{exp(x)>0}$
$\forall{x\in{\mathbb{R}}}\;et\;y\in{\mathbb{R^*_+}}$, on a $\mathbf{exp(x)=y\Rightarrow{x=\ln{y}}}$
$\forall{x\in{\mathbb{R^*_+}}}$ ; $\mathbf{exp(\ln{x})=x}$
 En particulier, on a : $\mathbf{\ln{1}=0\Rightarrow{e^0=1}}\\
\mathbf{\ln{e}=1\Rightarrow{exp(1)=e^1}}$
        Notation définitive : on notera désormais $\forall{x\in{\mathbb{R}}}\;\mathbf{exp(x)}\; par\; \mathbf{e^x}$

        La courbe représentative de ex
 Dans un repère orthonormé du plan, la courbe de $\ln{x}$ et $e^x$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice d’équation $y=x$

C.  Propriétés algébriques

Elles sont semblables à celles des puissances entières. $\forall{(x ;\;y)}\in{\mathbb{R^2}}$, on a :

$\mathbf{e^x.e^y=e^{x+y}\\(e^x)^y=e^{xy}}$                             $\mathbf{\frac{e^x}{e^y}=e^{x-y}\\\frac{1}{e^x}=e^{-x}}$

D.  Courbe représentative de $e^x$

III.  Etude analytique de la fonction exponentielle

 Par définition, la fonction exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$ et nous admettons qu’elle est continue sur $\mathbb{R}$.

A.  Limites : étude au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$

Théorème

$\mathbf{\lim\limits_{{x\to{-\infty}}}e^x=0}$
$\mathbf{\lim\limits_{{x\to{-\infty}}}xe^x=0}$
$\mathbf{\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}e^x=+\infty}$
$\mathbf{\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{e^x}{x}=+\infty}$
$\mathbf{\lim\limits_{{x\to{-\infty}}}e^x=0}$ : la courbe de $\mathbf{e^x}$ admet une asymptote horizontale d’équation $\mathbf{y=0}$
$\mathbf{\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{e^x}{x}=+\infty}$ : la courbe de $\mathbf{e^x}$ admet une branche parabolique de direction $\mathbf{oy}$

B.  Dérivabilité

Théorème

La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et est égale à sa dérivée
$\forall{x}\in{\mathbb{R}} ;\ ; \mathbf{(e^x)’=e^x}$

C.  Tableau de variation

 De la stricte croissante de $e^x$ , on a : $\forall{x ;\;y}\in{\mathbb{R^2}}$
$e^x=e^y$ alors $x=y$
Si $x\le{y}\iff{e^x\le{e^y}}$

IV.  Etude de la fonction $e^{u(x)}$ ou $exp\circ{u(x)}$

Théorème

La fonction $e^{u(x)}$ est définie sur tout intervalle $I$ sur lequel $u(x)$ est définie.
Si $u$ est dérivable sur $I$, la fonction $e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et $\forall{x}\in{I}$ ; $\mathbf{[e^{u(x)}]'=u'(x)e^{u(x)}}$

V.  Fonction exponentielle de base $A$. $A\in{\mathbb{R^*_+}}$ et $A\ne{1}$ : fonctions puissances

A.  Définition

Soit $a\in{\mathbb{R^*_+}}\; et \;b$ un réel quelconque noté $a^b$. Le réel défini par $\mathbf{a^b}$$\mathbf{=e^{b\ln{a}}\\=e^{\ln{a^b}}\\=a^b}$.

 Nous définissons alors de nouvelles fonctions

  • Les fonctions $\mathbf{x\longmapsto{a^{x}}}$ ; $a>0\; et \;a\ne{1}$ sont appelées les fonctions exponentielle de base $a$. Leur étude se ramène à celle de la fonction $exp\circ{u(x)}\; car \;a^x=e^{x\ln{a}}$
Exemple

$(2^{3x-1})=(e^{(3x-1)\ln{2}})\\(2^{3x-1})'=(e^{(3x-1)\ln{2}})'\\(2^{3x-1})'=3\ln{2}(2^{3x-1})$

  •  Les fonctions $\mathbf{x\longmapsto{x^{\alpha}};\;\alpha{\in{\mathbb{R}}}}$, définies sur $\mathbb{R^*_+}$. Ces fonctions sont appelées fonctions puissances que nous étudierons

B.  Etude des fonctios puissances $(x\longmapsto{x^{\alpha}};\;\alpha{\in{R^*}})$

 On appelle fonction puissance toute fonction $f(x)$ définie sur $]0;\;+\infty[$ par $f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}=e^{\alpha{\ln{x}}}$.
$f_{\alpha}$ est dérivable $\forall{x}\in{]0;\;+\infty[}$ et $\mathbf{f_{\alpha}(x)=f'_{\alpha}=\alpha{x^{\alpha{-1}}}}$.
Son signe dépend de $\alpha$

  • Si $\mathbf{\alpha{>0}}$ ; $\mathbf{f'_{\alpha}>0}$ donc $\mathbf{f_{\alpha}}$ croît
  • Si $\mathbf{\alpha{<0}}$ ; $\mathbf{f'_{\alpha}<0}$ donc $\mathbf{f_{\alpha}}$ décroît
    $\lim\limits_{{x\to{0^+}}}x^{\alpha}=\left\{
    \begin{array}{l}1\;si\;\alpha{=0}\\0\;si\;\alpha{>0}\\+\infty{\;si\;\alpha{<0}}                        
    \end{array}
    \right.$    
    $\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}x^{\alpha}=\left\{
    \begin{array}{l}
    1\;si\;\alpha{=0}\\0\;si\;\alpha{<0}\\+\infty{\;si\;\alpha{>0}}
    \end{array}
    \right.$              
  • $\lim\limits_{{x\to{0^+\\{\alpha{<0}}}}}x^{\alpha}=0$ $\mathcal{C_f}$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=0$.
    Pour $\alpha{<0}$ ; les axes du repère sont asympote à $\mathcal{C_{\alpha}}$ .
  • $\lim\limits_{{x\to{0^+\\{\alpha{<0}}}}}x^{\alpha}=+\infty$ $\mathcal{C_f}$ admet une asymptote verticale d'équation $x=0$.
    Pour $\alpha{<0}$ ; les axes du repère sont asympote à $\mathcal{C_{\alpha}}$.
    $\alpha{>0}$ ; on prolonge par continuité $f_{\alpha}$ en $0$.
    On a:
    $\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}f_{\alpha}$ : possibilité d'avoir une branche infinie   
  • Si $\mathbf{\alpha{>1}\;;\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{f_{\alpha}(x)}{x}=\infty}$  $\mathcal{C_{f_{\alpha}}}$ admet une branche parabolique de direction $\mathbf{oy}$  
  • Si $\mathbf{\alpha{<1}\;;\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{f_{\alpha}(x)}{x}=0}$  $\mathcal{C_{f_{\alpha}}}$ admet une branche parabolique de direction $\mathbf{ox}$              
    Toutes les courbes de $\mathbf{f_{\alpha}}$ passe par le point de coordonnées $\mathbf{(1;\;1)}$          
  • Si $\alpha{<0};\mathcal{C_{f_{\alpha}}}$ est de type hyperbole
  • Si $0<\alpha{<0};\mathcal{C_{f_{\alpha}}}$ est de type racine carrée
  • Si $\alpha{>0};\mathcal{C_{f_{\alpha}}}$ est de type parabolique

                               

VI.  Etude comparée des fonctions $\ln{x},\;e^{x}\;et\;x^{\alpha};\;(\alpha{>0})$

A.  Croissance comparée de $\ln{x}$ et $x^{\alpha}$

Activité

$\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{\ln{x}}{x^{\alpha}}$
a) Verifier que $\large{\frac{\ln{x}}{x^{\alpha}}}=\frac{1}{\alpha}\times{\frac{\ln{x^{\alpha}}}{x^{\alpha}}}$
b) On pose $u(x)=x^{\alpha}$ et $v(x)=\large{\frac{\ln{x}}{x}}$. Montrer que $\large{\frac{\ln{x}}{x^{\alpha}}=\frac{1}{\alpha}v\circ{u(x)}}$
c) En déduire $\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{\ln{x}}{x^{\alpha}}$

Solution

a) Verifions que $\Large{\frac{\ln{x}}{x^{\alpha}}}=\frac{1}{\alpha}\times{\frac{\ln{x^{\alpha}}}{x^{\alpha}}}$

$\frac{1}{\alpha}\times{\frac{\ln{x^{\alpha}}}{x^{\alpha}}}$$=\frac{1}{\alpha}\times{\frac{\alpha{\ln{x}}}{x^{\alpha}}}\\=\frac{\ln{x}}{x^{\alpha}}$
Donc
$\frac{1}{\alpha}\times{\frac{\ln{x^{\alpha}}}{x^{\alpha}}}=\frac{\ln{x}}{x^{\alpha}}$

b) Montrons que $\frac{\ln{x}}{x^{\alpha}}=\frac{1}{\alpha}v\circ{u(x)}$

$v(x)=\frac{\ln{x}}{x}$ ; $v(x)=x^{\alpha}$

$v\circ{u(x)}=\frac{\ln{x^{\alpha}}}{x^{\alpha}}$

$v\circ{u(x)}=\frac{\alpha{\ln{x}}}{x^{\alpha}}$

$\frac{v\circ{u(x)}}{\alpha}=\frac{\ln{x}}{x^{\alpha}}$

$v\circ{u(x)}\times\frac{1}{\alpha}=\frac{\ln{x}}{x^{\alpha}}$

d) Déduisons-en $\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{\ln{x}}{x}$

$\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}u(x)=+\infty\;\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{\ln{x}}{x}=0$ par conséquence, $\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{\ln{x}}{x^{\alpha}}=0$. Cela signifie que la fonction $\ln$ croît plus lentement que la fonction puissance. Autrement dit, pour $x$ assez grand, $\mathbf{\ln}$ est négligeable devant $\mathbf{x^{\alpha}}$.

B.  Croissance comparée de $e^x$ et $x^{\alpha}$

Activité

a) Verifier que $\frac{e^x}{x^{\alpha}}=e^{x(1-\mathbf{\frac{\alpha{\ln{x}}}{x})}}$
b) On pose $u(x)=(1-\mathbf{\frac{\alpha{\ln{x}}}{x})}$ et $v(x)=e^x$. Montrer que $v\circ{u(x)}=\frac{e^x}{x^{\alpha}}$
c) En déduire $\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{e^x}{x^{\alpha}}$.

Solution

a) Verifier que $\frac{e^x}{x^{\alpha}}=e^{x(1-\mathbf{\frac{\alpha{\ln{x}}}{x})}}$

$\frac{e^x}{x^{\alpha}}$$=\frac{e^x}{e^{\alpha{\ln{x}}}} \\=e^x.e^{-\alpha{\ln{x}}} \\=e^{x-\alpha{\ln{x}}} \\=e^{x(1-\frac{\alpha{\ln{x}}}{x})}$
$\frac{e^x}{x^{\alpha}}=e^{x(1-\frac{\alpha{\ln{x}}}{x})}$

b) Montrons que $\mathbf{v\circ{u(x)}=\frac{e^x}{x^{\alpha}}}$

$u(x)=(1-\mathbf{\frac{\alpha{\ln{x}}}{x})}$ et $v(x)=e^x$
$v\circ{u(x)}$$=e^{x(1-\frac{\alpha{\ln{x}}}{x})} \\=e^x.e^{-\alpha{\ln{x}}}$
$v\circ{u(x)}=\frac{e^x}{x^{\alpha}}$

c) Déduisons que $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{e^x}{x^{\alpha}}}$.

On a: $\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}x(1-\mathbf{\frac{\alpha{\ln{x}}}{x})}=+\infty$
$\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}e^x=+\infty$ donc $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{e^x}{x^{\alpha}}=+\infty}$
$\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{e^x}{x^{\alpha}}=+\infty$ signifie que la fonction $\mathbf{e^x}$ croît plus vite que la fonction $\mathbf{x^{\alpha}}$, c'est-à-dire pour $x$ suffisament grand, $x^{\alpha}$ est négligeable devant $e^x$ d'où les limites remarquables suivantes:

$\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\ln{x}=+\infty$ $\lim\limits_{{x\to{-\infty}}}xe^x=0$ $\lim\limits_{{x\to{-\infty}}}e^x=0$ $\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}e^x=+\infty$
$\lim\limits_{{x\to{-\infty}}}x^n e^x=0$ $\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}x^n e^{-x}=0$ $\lim\limits_{{x\to{0^+}}}\ln{x}=-\infty$ $\lim\limits_{{x\to{0}}}x\ln{x}=0$
$\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{\ln{x}}{x}=0$ $\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{e^x}{x^n} =+\infty$ $\lim\limits_{{x\to{0}}}\frac{\sin{x}}{x}=1$ $\lim\limits_{{x\to{0}}}\frac{1-\cos{x}}{x}=0$
$\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{e^x}{x}=+\infty$ $\lim\limits_{{x\to{+\infty}}}\frac{\ln{x}}{x^n}=0$ $\lim\limits_{{x\to{0}}}\frac{\ln{(1+x)}}{x}=1$ $\lim\limits_{{x\to{0}}}\frac{{e^x}-1}{x}=1$