La Racine Carrée d'un nombre réel
I. Définition de la racine carrée d'un réel positif
A. Activité.
Activité1
Dessiner un carré ABCD de côté 1 cm et construire les symétriques des points A et C par rapport à B.
1)Calculer l’aire du quadrilatère ACA’C’ en utilisant l’aire du triangle ABC.
2)Exprimer l’aire de ACA’C’ en fonction de AC.
3)Que peut-on dire de AC ?
Réponse
1 - $S_{ACA'C'} = S_{ABC} × 4 = \frac{AB × BC}{2} × 4 = \frac{1 × 1}{2} × 4 = 2$.
2- $S_{ACA'C'} = AC × AC = AC^{2}$.
3- On peut dire que $AC^{2} = 2$?
Activité 2
La mesure du segment [AC] est le nombre dont le carre est 2 . Ce nombre est appelé racine carrée de 2. On le note $\sqrt{2}$
Compléter le tableau suivant :
| $a$ | -9 | -4 | 0 | 3 | 5 |
| $a^{2}$ | 81 | 16 | 0 | 9 | 25 |
| $a$ | 25 | 49 | -2 | 0 | 4 |
| $\sqrt{a}$ | 5 | 7 | 0 | 2 |
Remarque : un nombre négatif n’a pas de racine carré.
x et y étant positifs:
- Si x = y alors $x^{2}$= $y^{2}$.
- Si $x^{2}$ > $y^{2}$ alors $x > y$.
- Si $x^{2}$ < $y^{2}$ alors $x < y$.
- Un nombre positif n’a qu’une seule racine carrée.
- Les nombres positifs sont dans le même ordre que leurs carrés.
B. Définition
Pour tout réel $a$ positif, on apelle racine carré de $a$, le réel dont le carré est égale à $a$. On le note $\sqrt{a}$ et on lit « racine carrée de $a$ » .
$\sqrt{0}$ = 0, $\sqrt{1}$ = 1.
Pour tout réel $x$ positif : $\sqrt{x} \ge 0$;
$(\sqrt{x})^{2} = x.$;
$\sqrt{x^{2}} = | x | =\left\{\begin{array}{rl};
x & \mbox{si $x\geq0$ (positif)} \\;
-x & \mbox{si $x\leq0$ (négatif)}\end{array}\right.$.
II. Propriétés.
A. Racine carrée d'un produit.
1. Activités.
Compléter le tableau suivant et comparer $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ et $\sqrt{a \times b}$.
| A | B | $\sqrt{a}$ | $\sqrt{b}$ | $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ | $a \times b$ | $\sqrt{a \times b}.$ |
| 9 | 16 | 3 | 4 | 12 | 144 | 12 |
| 25 | 4 | 5 | 2 | 10 | 100 | 10 |
On remarque que : $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$.
2. Propriétés.
Pour tout réel positif a et b ; on a :$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$.
B. Racine carrée d'un quotient
1. Activités.
Compléter le tableau suivant et comparer:
| a | b | $\sqrt{a}$ | $\sqrt{b}$ | $\frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}$ | $\frac{a}{b}$ | $\sqrt\frac{a}{b}$ |
| 25 | 36 | 5 | 6 | $\frac{5}{6}$ | $\frac{25}{36}$ | $\frac{5}{6}$ |
| 16 | 9 | 4 | 3 | $\frac{4}{3}$ | $\frac{16}{9}$ | $\frac{4}{3}$ |
On remarque que :
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt\frac{a}{b}$.
2. Propriétés.
Pour tous réels positifs a et b : si b $\neq 0.$ On a $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt\frac{a}{b}$.
C. Racine carrée d'une somme
1. Activités.
Compléter le tableau suivant et comparer $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ et $\sqrt{a + b}$.
| a | b | $\sqrt{a}$ | $\sqrt{b}$ | $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ | a + b | $\sqrt{a + b}$ |
| 9 | 16 | 3 | 4 | 7 | 25 | 5 |
| 25 | 4 | 5 | 2 | 7 | 29 | $\sqrt{29}$ |
On remarque que :
$\sqrt{a} + \sqrt{b} \ne \sqrt{a + b}$.
2. Propriétés.
Pour tous réels positifs $a$ et $b$ ; on a : $\sqrt{a} + \sqrt{b} \ne \sqrt{a + b}$.
D. Comparaison
1. Activités.
Comparer $\sqrt{14}$ et $\sqrt{19}$ en utilisant la propriété «pour tous $x$ et $y$ Si $X^{2}$ < $Y^{2}.$ Alors $X < Y$.
Reponse:
$(\sqrt{14})^{2} = 14$ et $(\sqrt{19})^{2} = 19.$ car $(\sqrt{x})^{2} = x$
14 < 19 <=> $(\sqrt{14})^{2}$ < $(\sqrt{19})^{2}$ donc $\sqrt{14}$ < $\sqrt{19}$
2. Propriétés.
- $x$ et $y$ étant des réels positifs si $x < y$ alors $\sqrt{x}$ < $\sqrt{y}$.
- Les racines carrées de deux nombres positifs sont dans le même ordre que les deux nombres.
E. Racine carrée et valeur absolue
1. Activités.
Compléter le tableau suivant . Que remarque t-on ?
| $x$ | -4 | -1,5 | 0 | 5 | 1 |
| $\sqrt{x^{2}}$ | 4 | 1,5 | 0 | 5 | 1 |
| $| x |$ | 4 | 1,5 | 0 | 5 | 1 |
On remarque que : $\sqrt{x^{2}}$ = $| x |$.
2. Propriétés.
Pour tout réel $x$ ; $\sqrt{x^{2}} = | x |$.
F. Ecriture sous la forme $a\sqrt{b}$
Ecrivons $\sqrt{75}$ et $\sqrt{20}$ sous la forme $a\sqrt{b}$.
75 = 3 × $5^{2}$ <=> $\sqrt{3 × 5^{2}} = \sqrt{3} × \sqrt{5^{2}} = 5\sqrt{3}$.
20 = 5 × $2^{2}$ <=> $\sqrt{5 × 2^{2}} = 2\sqrt{5}$.
III. Calcul sur les radicaux.
A. Expression conjuguée
Calculer B = (2 + $\sqrt{3}$)(2 - $\sqrt{3}$)
= $2^{2}$ - ($\sqrt{3})^{2}$
= 4 - 3
B = 1
Le résultat est un réel sans radical ; on dit que 2 + $\sqrt{3}$ est l’expression conjuguée de 2 - $\sqrt{3}$ ou 2 - $\sqrt{3}$ est l’expression conjuguée de 2 + $\sqrt{3}$.
B. Résolution d'equation du type $X^{2} = k$
1. Activités.
Trouver des nombres réels dont le carré est égal à 5.
Réponse :
$x^{2}$ = 5
$x^{2}$ - 5 = 0
$x^{2}$ - ($\sqrt{5})^{2}$ = 0
(x - $\sqrt{5}$)(x + $\sqrt{5}$) = 0
x - $\sqrt{5}$ = 0 ou x + $\sqrt{5}$ = 0
x = $\sqrt{5}$ ou x = -$\sqrt{5}$
S = { -$\sqrt{5}; \sqrt{5}$ }
2. Conclusion.
Résoudre $x^{2} = k$; $k$ étant un réel
- Si K > 0 alors $x^{2} = k $ admet deux solution -$\sqrt{k}$ et $\sqrt{k}$.
- Si K < 0 alors $x^{2} = k $ n'a pas de solution.
- Si k = 0 alors $x^{2} = k $ a une solution qui est 0.