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La Racine Carrée d'un nombre réel

I.  Définition de la racine carrée d'un réel positif

A.  Activité.

Activité1.

Dessiner un carré ABCD de côté 1 cm et construire les symétriques des points A et C par rapport à B.

1)Calculer l’aire du quadrilatère ACA’C’ en utilisant l’aire du triangle ABC.

2)Exprimer l’aire de ACA’C’ en fonction de AC

3)Que peut-on dire de AC ?

Réponse.

 

1 - $S_{ACA'C'} = S_{ABC} × 4 = \frac{AB × BC}{2} × 4 = \frac{1 × 1}{2} × 4 = 2$.

2-  $S_{ACA'C'} = AC × AC = AC^{2}$.

3- Onpeut dire que $AC^{2} = 2$

Activité 2

La mesure du segment [AC]  est le nombre dont le carre est 2 . Ce nombre est appelé racine carrée de 2. On le note $\sqrt{2}$       

Compléter le tableau suivant :

     a       -9       -4      0          3       5
    $a^{2}$        81      16      0         9       25

 

       a      25      49        -2           0          4
     $\sqrt{a}$        5        7                     0           2

 

Remarque : un nombre négatif n’a pas de racine carré.

x et y étant positifs,

  • Si x = y alors $x^{2}$= $y^{2}$
  • Si $x^{2}$ > $y^{2}$ alors $x > y$
  • Si $x^{2}$ < $y^{2}$ alors $x < y$
  • Un nombre positif n’a qu’une seule racine carrée.
  • Les nombres positifs sont dans le même ordre que leurs carrés.

B.  Définition

Pour tout réel $a$ positif, on apelle racine carré de $a$, le réel dont le carré est égale à $a$. On le note $\sqrt{a}$ et on lit « racine carrée de $a$ » .
$\sqrt{0}$ = 0, $\sqrt{1}$ = 1.
Pour tout réel $x$ positif : $\sqrt{x} \ge 0$.
                                     $(\sqrt{x})^{2} = x.$
                                     $\sqrt{x^{2}} = | x | =\left\{\begin{array}{rl}
                                                                    x & \mbox{si $x\geq0$ (positif)} \\
                                                                   -x & \mbox{si $x\leq0$ (négatif)}\end{array}\right.$

 

II.  Propriétés.

A.  Racine carrée d'un produit.

1.  Activités.

Compléter le tableau suivant et comparer $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ et  $\sqrt{a \times b}.$

     A       B    $\sqrt{a}$    $\sqrt{b}$    $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$     $a \times b$      $\sqrt{a \times b}.$
      9      16        3         4         12       144         12
      25       4         5          2          10        100         10

On remarque que : $\sqrt{a} \times \sqrt{b}  =  \sqrt{a \times b}.$

2.  Propriétés.

 Pour tout réel positif a et b ; on a :$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}.$

B.  Racine carrée d'un quotient

1.  Activités.

Compléter le tableau suivant et comparer:

         a        b     $\sqrt{a}$     $\sqrt{b}$   $\frac{\sqrt{a}}{  \sqrt{b}}$  $\frac{a}{b}$  $\sqrt\frac{a}{b}$
         25         36        5        6             $\frac{5}{6}$    $\frac{25}{36}$    $\frac{5}{6}$
         16         9         4          3        $\frac{4}{3}$     $\frac{16}{9}$    $\frac{4}{3}$

 

On remarque que :

                      $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}  =  \sqrt\frac{a}{b}$.

2.  Propriétés.

 Pour tous réels positifs  a et b : si  b $\neq 0.$  On a  $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}  =  \sqrt\frac{a}{b}$.

 

C.  Racine carrée d'une somme

1.  Activités.

Compléter le tableau suivant et comparer $\sqrt{a}  + \sqrt{b}$  et $\sqrt{a + b}$

          a        b          $\sqrt{a}$       $\sqrt{b}$      $\sqrt{a}  + \sqrt{b}$         a + b    $\sqrt{a + b}$  
          9        16          3          4             7       25        5
         25         4           5          2             7        29       $\sqrt{29}$

On remarque que :

                           $\sqrt{a}  + \sqrt{b}    \ne  \sqrt{a + b}.$

2.  Propriétés.

Pour tous réels positifs $a$ et $b$ ; on a : $\sqrt{a} + \sqrt{b}   \ne   \sqrt{a + b}.$

         

D.  Comparaison

1.  Activités.

Comparer $\sqrt{14}$ et $\sqrt{19}$ en utilisant la propriété  «pour tous $x$ et $y$ Si $X^{2}$ < $Y^{2}.$ Alors $X < Y$.

Reponse:

$(\sqrt{14})^{2} = 14$  et  $(\sqrt{19})^{2} = 19.$  car  $(\sqrt{x})^{2} = x.$

                   14  < 19  <=> $(\sqrt{14})^{2}$  <  $(\sqrt{19})^{2}$   donc   $\sqrt{14}$ <  $\sqrt{19}$

2.  Propriétés.

- $x$ et $y$ étant des réels positifs si $x < y$ alors $\sqrt{x}$ < $\sqrt{y}$
- Les racines carrées de deux nombres positifs sont dans le même ordre que les deux nombres.

E.  Racine carrée et valeur absolue

1.  Activités.

Compléter le tableau suivant . Que remarque t-on ?

         $x$        -4        -1,5         0           5         1
      $\sqrt{x^{2}}$        4         1,5         0           5         1
        $| x |$        4          1,5         0           5         1

 

On remarque que :  $\sqrt{x^{2}}$  = $| x |$.

2.  Propriétés.

Pour tout réel x ; $\sqrt{x^{2}}$  =  | x |.

 

F.  Ecriture sous la forme $a\sqrt{b}$

Ecrivons  $\sqrt{75}$ et $\sqrt{20}$ sous la forme  $a\sqrt{b}$.

75 = 3 × $5^{2}$  <=> $\sqrt{3 × 5^{2}}  = \sqrt{3} × \sqrt{5^{2}} = 5\sqrt{3}.$

20 = 5 × $2^{2}$  <=> $\sqrt{5  × 2^{2}} =  2\sqrt{5}.$

III.  Calcul sur les radicaux.

A.  Expression conjuguée

Exemple

Calculer  B = (2 + $\sqrt{3}$)(2 - $\sqrt{3})$

                 = $2^{2}$ - ($\sqrt{3})^{2}$

                 = 4  - 3

                 B = 1.

Le résultat est un réel sans radical ; on dit que 2 + $\sqrt{3}$  est l’expression conjuguée de 2 - $\sqrt{3}$ ou 2 - $\sqrt{3}$ est l’expression conjuguée de  2 + $\sqrt{3}$.

B.  Résolution d'equation du type $X^{2} = k$

1.  Activités.

Trouver des nombres réels dont le carré est égal à 5  
Réponse :  

$x^{2}$ = 5

$x^{2}$ - 5 = 0

$x^{2}$ - ($\sqrt{5})^{2}$ = 0

(x - $\sqrt{5}$)(x + $\sqrt{5}$) = 0

x - $\sqrt{5}$ = 0  ou x + $\sqrt{5}$ = 0

x = $\sqrt{5}$ ou x = -$\sqrt{5}$

 

S = { -$\sqrt{5}; \sqrt{5}$ }

 

2.  Conclusion.

Résoudre $x^{2} = k$; $k$ étant un réel

  •  Si K > 0 alors   $x^{2} = k $ admet deux solution -$\sqrt{k}$ et $\sqrt{k}$
  •  Si K < 0 alors   $x^{2} = k $ n'a pas de solution.
  •  Si k = 0 alors   $x^{2} = k $ a une solution qui est 0.