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Les fonctions numériques

I.  Limites-Continuités

A.  calcul de limites

1.  Technique de calcul

a) Activité1 : Limite à l’infinie $\mathbf{\infty}$ d’une fonction polynôme est égale à la limite de son monôme du plus haut degré
La limite d’une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient du monôme du plus haut degré au numérateur et au dénominateur
Exemple

$\lim\limits_{{x \to{\infty}}}(\frac{-2x^4+3x+5}{3x^2-2x-1})=\lim\limits_{{x \to{\infty}}}(\frac{-2x^4}{3x^2})$ $=\;{\lim\limits_{{x \to{\infty}}}(\frac{-2x^2}{3})}$
$\lim\limits_{{x \to{\infty}}}(-2x^5-19x+2017)$ $=\;\lim\limits_{{x \to{\infty}}}(-2x^5)$

 

b) Activité2: Limite des fonctions irrationnelles
 Pour les calculs des limites des fonctions irrationnelles, lorsqu'on rencontre la forme indéterminée, on utilise majoritairement l'expression conjuguée pour la lever.
Exemple

$
{\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1})}\\
={\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\frac{(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1})(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1})}{(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1})}}\\
={\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\frac{(2x+1-x+1)}{(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1})}}\\
={\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\frac{(x+2)}{(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1})}}\\
={\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\frac{x(1+\frac{2}{x})}{|x|(\sqrt{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}})}}\\
={\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\frac{1}{0}}=+\infty\\
={\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1})}$
$=+\infty$

 

c) Activité3: limite en un point
Exemple

$\mathbf{{\lim\limits_{{x \to{0}}}\frac{x^2+|x|}{4x}}}$

$\Rightarrow\mathbf{\lim\limits_{{x \to{0^+}}}\frac{x^2+|x|}{4x}}$$\mathbf{=\lim\limits_{{x \to{0^+}}}\frac{x^2+x}{4x}\\=\lim\limits_{{x \to{0^+}}}\frac{x(x+1)}{4x}\\= \lim\limits_{{x \to{0^+}}}\frac{1+x}{4}}$
   $\mathbf{\lim\limits_{{x \to{0^+}}}\frac{x^2+|x|}{4x}=\frac{1}{4}.}$

$\Rightarrow\mathbf{{\lim\limits_{{x \to{0^-}}}\frac{x^2+|x|}{4x}}}$$\mathbf{={\lim\limits_{{x \to{0^-}}}\frac{x^2-x}{4x}}\\={\lim\limits_{{x \to{0^-}}}\frac{x(x-1)}{4x}}\\=
{\lim\limits_{{x \to{0^-}}}\frac{-1+x}{4}}}$
   $\mathbf{{\lim\limits_{{x \to{0^-}}}\frac{x^2+|x|}{4x}}=-\frac{1}{4}}$


$\mathbf{f \left\{
\begin{array}{l}
f_1(x)=x^2-\frac{3}{x-2} \; si \; x<1\\
f_2(x)=\frac{x^2-3}{x\sqrt{x^2+x}}\;si\;x\ge{1}
\end{array}
\right.
}$

$
f_1(x)\exists{\;si\;{x-2}\ne{0}}\; et\; {x<1}$ $\Rightarrow{
 \left\{
\begin{array}{l}
x\ne{2}\\
Df_1=]-\infty{;1[}
\end{array}
\right.}
$

$
f_2(x)\exists{\;si\;{x\sqrt{x^2+x}}\ne{0}}\;$ ; $\;x\ge{1}\;;x^2+x\ge{0}\\\Rightarrow{
 \left\{
\begin{array}{l}
x\ne{0}\; et\;x^2+x>0\\
x\ne{0}\\
x\in{]-\infty{\;;-1[\cup{]0;\;+\infty}}}\;et\;x\ge{1}\\
Df_2=[1;\;+\infty[
\end{array}
\right.}\\
Df=\mathbb{R}=]-\infty{;\;+\infty[}
$

Calculons les limites

$\lim\limits_{{x\to{-\infty}}}f_1(x)=\lim\limits_{{x\to{-\infty}}}x^2-\frac{3}{x-2}=+\infty\;$ car
$\lim\limits_{{x\to{-\infty}}}(x^2)=+\infty$ et $\lim\limits_{{x\to{-\infty}}}(\frac{3}{x-2})=0$

$\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}f_2(x)$ ${=\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\frac{x^2-3}{x\sqrt{x^2+x}}\\=
\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\frac{x^2(1-\frac{3}{x^{2}})}{x^2\sqrt{1+\frac{1}{x}}}\\
=\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\frac{(1-\frac{3}{x^{2}})}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=\frac{1}{1}}$
$\mathbf{\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}f_2(x)=\frac{1}{1}}$

2.  Opération sur les limites



Remarque:
Les formes indéterminées $\mathbf{(+\infty{-\infty}\;;0\times{\infty}\;;\frac{\infty}{\infty}\;;\frac{0}{0})}$ signifie qu'il n'est pas possible de conclure directement l'existence de la valeur de la limite. Il faut lever l'indetermination.

3.  Limite des fonctions composées

Soit $f$ , $g$ et $h$ trois fonctions numériques telque
$\mathbf{h=f\circ{g}}$ et $a\;,b\; et \; c \in{\mathbb{R}}$
si $\mathbf{\lim\limits_{{x \to{a}}}g(x)=b}\;et\;\mathbf{\lim\limits_{{x\to{b}}}f(x)=c}$
alors $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}h(x)=c}$
Exemple

$\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\sqrt{x^2+x+1}$

$\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}(x^2+x+1)=+\infty\\
\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\sqrt{x}=+\infty\\
\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\sqrt{x^2+x+1}$

$\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\cos{\frac{x}{x^2-1}}$

$\mathbf{
\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\frac{x}{x^2-1}=0\\
\lim\limits_{{x \to{0}}}\cos{x}=1
\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\cos{\frac{x}{x^2-1}}=1
}$

4.  Limites et dérivation

 Soit $f$ et $g$ deux fonctions de la variable réelle de $x$ tel que $f$ soit dérivable en $x_0$ et si $\mathbf{g(x)={\frac{f(x)-g(x)}{x-x_0}}}$ alors $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{x_0}}}g(x)=\lim\limits_{{x\to{x_0}}}f'(x)=f'(x_0)}$

5.  Limite et ordre

 Soit $a$ et $\ell$ deux nombre réels, $f$ et $g$ deux fonctions numérques.
On a pour tout $a$ assez grand:

Théorème de majorisation et de minorisation

Max: si $\mathbf{f\ge{g}}$ et $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}g(x)=+\infty}$ alors $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x)=+\infty}$
Min: si $\mathbf{f\ge{g}}$ et $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}g(x)=-\infty}$ alors $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x)=-\infty}$

Théorème de comparaison

Si $\mathbf{g\le{f\le{h}}}$ et $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}g(x)=\lim\limits_{{x\to{a}}}h(x)=\ell}$ alors $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x)=\ell}$
Si $\mathbf{f\le{g}}$ et $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x)=\ell}$ et $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}g(x)={\ell{'}}}$ alors $\mathbf{\ell\le{\ell{'}}}$
S'il existe une fonction $U$ tel que $\mathbf{|f(x)-\ell{|}\le{U(x)}}$ et $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}U(x)=0}$ alors $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x)=\ell}$

B.  Continuité

1.  Continuité en un point

 Soit $f$ une fonction numérique et $I$ un intervalle inclu dans $Df$. $a\in{I}$ c’est-à-dire que $f$ est continue en $a$ alors que $f$ admet une limite finie en $a$ et est $f(a)$ :
$\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x)=f(a)$

2.  Continuité à gauche, continuité à droite en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de type $]b;\;a]\cup{]a;\;c[}$ ou $]b;\;a[\cup{[a;\;c[}$

  • Si $\lim\limits_{{x\to{a^-}}}f(x)=f(a)$ alors $f$ est dit continue à gauche en $a$
  • Si $\lim\limits_{{x\to{a^+}}}f(x)=f(a)$ alors $f$ est dit continue à droite en $a$
  • Si limite à gauche  est égale limite à droite alors $\mathbf{f}$ est continue en $\mathbf{a}$
Propriété

Si $f$ admet une limite en un point, alors cette limite est unique

3.  Continuité sur un intervalle

 Une fonction $f$ est dite continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$

Remarques:

  • Les fonctions constantes affines et polynômes sont continues sur $\mathbf{\mathbb{R}}$
  • Les fonctions rationnelles et irrationnelles ainsi que leur fonctions composées sont continues sur leur ensemble de définition

4.  Prolongement par continuité

 Soit $f$ une fonction non définie en $x_0$ donc non continue en ce point.
si $\lim\limits_{{x\to{x_0}}}=\ell{(\ell{\in{\mathbb{R}}})}$ alors l'on peut prolonger $f$ par continuité en $x_0$

Théorème

Soit $h$ une fonction non continue en $x_0$ tel que $\lim\limits_{{x\to{x_0}}}h(x)=\ell$. La fonction défine par:
$\left\{
\begin{array}{l}
f(x)=h(x) \; si\;x\ne{x_0}\\
f(x_0)=\ell{=\lim\limits_{{x\to{x_0}}}h(x)}
\end{array}
\right.
$ est appelée le prolongement par continuité de $h$ en $x_0$

5.  Image d'un intervalle par une fonction continue et monotone

 Soit une fonction $f$ continue et monotone sur un intervalle $I$ , l'image par $f$ de $I$ est aussi un intervalle .

  • Si $I$ est fermé, alors $f(I)$ est fermé. 
  • Si $I$ est ouvert, alors $f(I)$ est ouvert

$Intervalle$ $[a;\;b]$ $]a;\;b]$ $[a;\;b[$ $]a;\;b[$
$f(I)\;si\;f\;croit$ $[f(a);\;f(b)]$ $]\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x);\;b]$ $[a;\;\lim\limits_{{x\to{b}}}f(x)[$ $]\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x);\;\lim\limits_{{x\to{b}}}f(x)[$
$f(I)\;si\;f\;décroit$ $[f(b);\;f(a)]$ $[f(b);\;\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x)[$ $]\lim\limits_{{x\to{b}}}f(x);\;f(a)]$ $]\lim\limits_{{x\to{b}}}f(x);\;\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x)[$

C.  Branche indéfinie

 Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ est $\mathcal{(C)}$ sa courbe représentative dans un répère orthogonal $(O\;\vec{i}\;\vec{j})$. On dit que $f$ admet une branche indéfinie si l'on a l'une des situations suivantes:

  • $\lim\limits_{{x\to{x_0}}}f(x)=\infty{\Rightarrow{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}f(x)=a\;(a\in{\mathbb{R}})}}$
  • ${\lim\limits_{{x\to{\infty}}}f(x)=\infty}$

1.  Les asymptotes

  •  Si $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{x_0}}}f(x)=\infty}$  alors $\mathcal{(C_f)}$ admet une asymptote vertical d'équation $\mathbf{x=x_0}$
  • Si $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}f(x)=a}\;(a\in{\mathbb{R}})$ alors $\mathcal{(C_f)}$ admet une asymptote horizontale d'équation $\mathbf{y=a}$

  • Si $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}f(x)=\infty}$ : deux situations se présentent
    Calculons alors $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}\frac{f(x)}{x}}$
    $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}\frac{f(x)}{x}=a}\;(a\in{\mathbb{R}})$ ; on calcule $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}[f(x)-ax]}$
     Si $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}f(x)-ax=b}$ alors $\mathcal{(C_f)}$ admet une asymptote oblique d'équation $\mathbf{y=ax+b}$

 

2.  Branches paraboliques

  •  Si $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{\pm{\infty}}}}f(x)=\pm{\infty}}$ et $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}\frac{f(x)}{x}=0}$ alors $\mathbf{\mathcal{(C)}}$ admet une branche parabolique de direction $\mathbf{ox}$ 
  • Si $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}f(x)=\infty}$ et $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}\frac{f(x)}{x}=\infty}$ alors $\mathbf{\mathcal{(C)}}$ admet une branche parabolique de direction $\mathbf{oy}$
  • Si $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}f(x)=\infty}$ ; $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}\frac{f(x)}{x}=a}$ et $\mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}f(x)-ax=\infty}$ alors $\mathbf{\mathcal{(C)}}$ admet une branche parabolique de direction $\mathbf{y=ax}$

3.  Courbe asymptotique

 Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur l'intervalle $I$
Si $\lim\limits_{{x\to{\infty}}}f(x)-g(x)=\infty$ alors $\mathbf{\mathcal{(C_f)}}$ et $\mathbf{\mathcal{(C_g)}}$ sont asymptotiques l'un de l'autre

II.  Dérivation

A.  Dérivée des fonctions usuelles

 

$\mathbf{f(x)}$ $\mathbf{f'(x)}$ Intervalle de validité
$k$ 0 $]-\infty;\;+\infty[$
$x$ 1 $]-\infty;\;+\infty[$
$x^n,n\in{N^*}$ $nx^{n-1}$ $]-\infty;\;+\infty[$
$\frac{1}{x}$ $\frac{-1}{x^2}$ $]-\infty;\; 0[\; ou\; ]0;\;+\infty[$
$\frac{1}{x^n};,n\in{N^*}$ $\frac{-n}{x^{n+1}}$ $]-\infty;\; 0[\; ou\; ]0;\;+\infty[$
$\sqrt{x}$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ $]0;\;+\infty[$
$x^\alpha,\alpha\in{R}$ $\alpha x^{n-1}$ $]0;\;+\infty[$
$lnx$ $\frac{1}{x}$ $]0;\;+\infty[$
$e^x$ $e^x$ $]-\infty;\;+\infty[$
$\cos{x}$ $-\sin{x}$ $]-\infty;\;+\infty[$
$\sin{x}$ $\cos{x}$ $]-\infty;\;+\infty[$

 

 

B.  Nombre dérivé, fonction dérivée

1.  Nombre dérivé

a) Définition

 Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ contenant le réel $x_0$. La fonction suit $x\longmapsto{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$ est appelée fonction dérivée de $f$. On le note $f'$: $\mathbf{x\longmapsto{f'(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}}$
Le réel $\ell$ défini par $\ell=\lim\limits_{{x\to{x_0}}}f'(x)=\lim\limits_{{x\to{x_0}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ est appelé le nombre dérivé de $f$ en $x_0$. On le note $f'(x)$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$
Posons $x=x_0+h$ on a $h=x-x_0$
$x\to{x_0};\;h\to{0}$
$\lim\limits_{{x\to{0}}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}=\lim\limits_{{x\to{0}}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

b) Détermination en point

 Si $f$ est dérivable en un point $x_0\in{I}$ alors $f$ admet un nombre dérivé en $x_0$ qui est $\mathbf{f'(x_0)}$
$\mathbf{f'(x_0)=\lim\limits_{{x\to{x_0}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$ ou $\mathbf{f'(x_0)=\lim\limits_{{x\to{x_0}}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$

  • Si $\lim\limits_{{x\to{x_{0^-}}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell{'\in{\mathbb{R}}}$, on dit que $f$ est dérivable à gauche de $x_0$
  • Si $\lim\limits_{{x\to{x_{0^+}}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell{'\in{\mathbb{R}}}$, on dit que $f$ est dérivable à droite de $x_0$
  • Si limite à gauche est égale à la limite à droite alors $f$ est dérivable en $x_0$

2.  Interprétation géométrique du nombre dérivé

 Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ et $\mathcal{(C)}$ sa représentation graphique. La tangente à $\mathcal{(C)}$ au point d'abscisse $A$ de coordonnées $(x_0\;y_0)$ est la droite $T$ passant par $A$ le coefficient directeur $f'(x_0)$.
L'équation de la tangente est alors:
$\mathbf{T:\;y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}$

Remarque:

  • Si $\lim\limits_{{x\to{x_0}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\infty$ : la fonction $f$ n'est pas dérivable en $x_0$. Cependant, $\mathcal{(C_g)}$ admet une tangente verticale ou une demi-tangente au point $A(x_0;\;y_0)$

  • Si $\lim\limits_{{x\to{x_0}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0$ : $f$ est dérivable en $x_0$ et sa courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale d'équation $y=f(x_0)$ et $\mathcal{C_f}$ un extrenum en ce point .
    Lorsque $f$ est continue au voisinage de $x_{0^-}$ et $\lim\limits_{{x\to{x_{o^-}}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell{=f'_g(x_0)}$ et $\mathcal{C_g}$ admet une demi-tangente
  • Si $\lim\limits_{{x\to{x_{o^+}}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell{'}$ alors $f$ est dérivable en $x_{0^+}$ et $\mathcal{C_g}$ admet une demi-tangente en $x_0$.$\ell{\ne{\ell{'}}}$ n'est pas dérivable en $x_0$ cependant, $\mathcal{C_f}$ admet deux demi-tangente en $x_0^+$. Le point de coordonnées $x_0$ est appelé point angulaire

C.  Calcul de dérivés

1.  Opération sur les dérivées

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies et dérivables sur $Df$ et $Dg$, on a les opérations suivantes:

Fonction Dérivée
$kf,  k\in{R}$ $kf'$
$f+g$ $f'+g'$
$fg$ $f'g+fg'$
$\sqrt{f}$ $\frac{f'}{2\sqrt{f}}$
$\frac{1}{f}$ $\frac{-f}{f^2}$
$\frac{f}{g}$ $\frac{f'g-fg'}{g^2}$
$x \mapsto f(x)^n$ $x \mapsto nf'(x)f(x)^{n-1}$

 

2.  Dérivées des fonctions composées

 Soient $f\,g\;et\;h$ , les fonctions numériques tel que $h=g\circ{f}$ ; si $f$ et $g$ sont dérivables sur $I$ , et sa dérivée est:
$\mathbf{h'=(g\circ{f})=f'.(g\circ{f})'}$
Exemple

$(\cos(ax+b))'$ $=-(ax+b)'\times{\sin(ax+b)}$
$(\cos(ax+b))'=-a\sin({ax+b})
$
$\cos{'x}=-\sin{x}$

 Remarque

  • Les fonctions constantes, affines, polynômes sont dérivables, définies et continues sur $\mathbf{\mathbb{R}}$
  • Les foctions rationnelles et irrationnelles sont dérivables sur leurs domaines de définitions, il en est de même que leur fonction composée
  • Si $f$ est $n$ fois dérivable sur $I$, on note $f'{^{(n)}}$ la dérivée $n^{ième}$ de $f$
    $f';\;f"\;...f'{^{(n)}}$ sont des dérivées successives de $f$

D.  Application du calcul des dérivées

1.  Sens de variation d'une fonction

 Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ et $f'$ sa fonction derivée. Le signe de $f'$ détermine les variations de $f$ sur $I$.

  • si ${f'>0}$ alors $f$ est croissante sur $I$
  • si ${f'<0}$ alors $f$ est décroissante sur $I$
  • si ${f'=0}$ alors $f$ est constante sur $I$

2.  Recherche d'extrenum

 Si la dérivé s'annule en chageant de signe en un point $x_0$ de $I$ alors $f$ admet un exténum relatif en $x_0$. La courbe $\mathcal{C_f}$ admet soit un maximum soit un minimum.

Remarque:

Le signe de $f"$ donne la concavité de la courbe. Le point où $f"$ s'annule en changeant de signe s'appelle point d'inflexion
Si $f$ est dérivable sur $I$ alors $f$ est continue sur $I$ mais la réciproque n'est pas vrai

3.  Bijection et dérivation

Théorème

Si $f$ est dérivable sur $I$ et $f'$ non nulle, alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$; autrement dit, si $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$, si $f$ est continue et stritement monotone sur $I$ alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$.
$f$ admet une bijection réciproque $f^{-1}$ définie de $f(I)\to{I}$
Les courbes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice(droite d'équation $y=x$)

Théorème des valeurs intermediaires

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ avec $I=[a;\;b]$. Si de plus $f(a)\times{f(b)}<0$ alors il existe un réel unique $\alpha$ tel que $f(\alpha)=0$. Autrement dit, $f(a)\times{f(b)}<0$ alors l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$

 

III.  Etude de fonction

A.  Déterminer le domaine de définition

Etudier la parité(valeurs positives ou négatives), étudier la périodicité suivant que $f$ soit paire ou impaire ou périodique, on dit limiter le domaine d'étude à un intervalle $I$ inclu dans $Df$.

$\forall{x}\in{Df},\;-x\in{Df};\;f(x)=f(-x)$ alors $f$ est paire
$\forall{x}\in{Df},\;-x\in{Df};\;-f(x)=f(-x)$ alors $f$ est impaire
$ T:\;x\in{Df},\;$ $k\in{\mathbb{Z}};\;(x+kT)\in{Df}\;f(x+kT)=f(x)$ alors $f$ est périodique de période $T$. De plus la courbe admet la droite d'équation :
* $x=a$ comme axe de symétrie: $x\in{Df},\;(2a-x)\in{Df}\;f(2a-x)=f(x)$
$\forall{x}\in{Df},\;(x-a)\in{Df};$ $\;(x+a)\in{Df};\;f(a-x)+f(a+x)$
* $A(a;\;b)$ est un centre de symetrie si:
$\forall{x}\in{Df},$ $(2a-x)\in{Df};$ $f(2a-x)+f(x)=2b$

B.  Calculer les limites aux bornes de $Df$ suivant d'interprétation graphique

C.  Calcul de la dérivabilité

Le calcul de la dérivabilité est suivi d'étude du signe de la dérivée et établir les variations et le tableau de variation

D.  Tracer la courbe , les asymptotes, les tangentes s'il y'a lieu

$\mathcal{C_f}\cap{(ox)}\;:\;f(x)=0$
$\mathcal{C_g}\cap{(oy)}\;:\;x=0;\;f(0)$
Intersection avec une droite, on pose $f(x)=(d)$