Chapitre 6: Calcul intégral - Mathématiques Terminale D | DigiClass
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Calcul intégral

I.  Introduction

      Les caculs d'aire et de volume sont à l'origine de calcul intégral. Les premiers calculs d'aire sont dûs à Eudoxe et d'Archimède qui utilisent une méthode consistant à encadrer la surface dont l'on cherche l'aire par des surfaces polygonales.

      Leibniz comme Fernat pensent que les aires et les volumes et les surfaces sont comme des rectangles et des cylindres et utilisent les expressions intégrales définies

       C'est au $XVII^e$ siècle que se tendent la notion et les méthodes de calculs d’intégrals d’aires et c'est à Gauchy (1831) que l'on doit la définition précise de l'intégral d'une fonction continue sur un intervalle $[a;\;b]$ et la notation $\mathbf{\int_a^b f(x)\,\mathrm dx}$. La théorie se généralise avec Riemann et Lebesgue.

 De nos jours, les calculs intégrals sont utilisés en mécaniques, en physique, économie, etc.

II.  Primitive d'une fonction

A.  Notion

Activité

Soit $F(x)=x^2+3$, $G(x)=x^2-5$ deux fonctions continues et dérivables sur $R$.
Calculer $F'(x)$ et $G'(x)$.

Solution

$F'(x)=2x$, $G'(x)=2x$. On constate que $F'(x)=G'(x)$. Les fonctions $F\;et\;G$ sont appelées des primitives de $ \\x\longmapsto 2x$ sur $R$.

B.  Définition

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$, toute fonction $F$ dérivable sur $I$ tel que $\forall{x}\in{I},\;\mathbf{F'(x)=f(x)}$.

C.  Propriétés

Propriété1

Toute fonction continue sur $I$ admet des primitives sur $I$

Propriété2

Si $f$ est une fonction admettant une primitive $F$ sur $I$ alors toute fonction $G$ tel que $G(x)=F(x)+k,\;k\in{\mathbb{R}}$ est aussi une primitive de $f$ sur $I$, il existe une et une seule primitive vérifiant les conditions initiales données

Propriété3

Si $f$ admet des primitives sur $I$, alors il existe une et une seule primitive vérifiant les conditions initiales données.

D.  Primitives de fonction

1.  Fonctions usuelles


 

2.  Opération sur les primitives

Opérations Primitives
$f+g$ $F+G$
$af(\in{\mathbb{R}})$ $aF$
$f'f^n$ $\large{\frac{1}{n+1}f^{n+1}}$
$\large{\frac{f'}{f}}$ $\ln|f|$
$\large{\frac{f'}{f^2}}$ $-\large{\frac{1}{f}}$
$\large{\frac{u'}{\sqrt{u}}}$ $2\sqrt{u}$
$\large{\frac{f'}{\cos{^2}f}}$ $\tan{f}$
$\large{\frac{f'}{\sin{^2}f}}$ $-co\tan{f}$
$u'e^{u}$ $e^u$
$\large{\frac{u'}{u^n}}$ avec $x\not= 1$ $\large{\frac{-1}{(n-1)u^{n-1}}}$

 

III.  Calcul intégral

A.  Intégral d'une fonction continue sur un intervalle

1.  Définition

 Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ ; $a\in{I}$ et $b\in{I}$. Le réel $F(b)-F(a)$ où $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ est appelé intégrale de $a$ à $b$ de $f$. On le note $\mathbf{\int_a^b f(x)\,\mathrm dx}$ et se lit « somme de $a$ à $b$ de $f$ ou intégral de $a$ à $b$  de $f$ ». On note aussi :
$ \mathbf{\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=F(b)-F(a) }$ $\mathbf{=[F(x)]_a^b}$ 

 Remarque

 On peut remplacer la variable $x$ par n’importe quelle lettre différente de $a$ et $b$. On dit que $x$ est la variable muette. $a$ et $b$ sont appelées les bornes d’intégration.

2.  Interprétation graphique

Théorème

 Le plan ménu d’un repère orthogonal soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a ; b]$. on appelle $(\int_a^b f(x)\,\mathrm dx)Ua$ l’aire du domaine plan délimité par la courbe de $f$ , l’axe des abscisses, les droites d’équation $x=a$ ; $x=b$.

 

$A=(\int_a^bf(x)\,\mathrm dx).Ua$, $Ua$ (unité d'aire)
$1U.a$ : l’unité sur l’axe des abscisses multipliée par l’unité sur l’axe des ordonnées.

Remarque

Il ne faut pas confondre le calcul intégral et le calcul d’aire.
Le calcul d’aire est une application du calcul d’intégral. Une intégrale peut être négative tandis que l’aire est toujours positive.

 

3.  Propriétés

Propriété1

$\int_a^a f(x)\,\mathrm dx=0$

Propriété2

$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=-\int_b^a f(x)\,\mathrm dx$

Propriété3

$\int_a^b \alpha{f(x)}\,\mathrm dx$ $=\alpha{\int_a^b f(x)\,\mathrm dx}$

Propriété4

$\int_a^b (\alpha{f(x)}+\beta{g(x)})\,\mathrm dx $ $=\alpha{\int_a^b f(x)\,\mathrm dx}+\beta{\int_a^b g(x)\,\mathrm dx}$, $(\alpha{;\;\beta})\in{\mathbb{R^2}}$

Propriété5

Si $f$ est continue sur $I$ ; $a,\;b\; et\; c\in{I}$, on a :
$\int_a^c f(x)\,\mathrm dx+\int_c^b f(x)\,\mathrm dx$ $=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx$

Propriété6

 i) Si $f$ est positive sur $[a ;\ ;b[$ alors $f(x)\ge{0}$, $\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\ge{0}$
ii) Si $f\le{g}$ sur $[a ;\;b]$ alors $\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\le{\int_a^b g(x)\,\mathrm dx}$ donc l’intégrale conserve l’ordre.

Propriété7

i) Si $f$ est continue et paire sur $[a ;\;b]$ alors $\int_a^{-a} f(x)\,\mathrm dx=2\int_0^{a} f(x)\,\mathrm dx$
ii) Si $f$ est continue et impaire alors $\int_a^{-a} f(x)\,\mathrm dx=0$
iii) Si $f$ est continue et périodique de période $T$ alors

$\int_a^{a+T} f(x)\,\mathrm dx = \int_0^{T} f(x)\,\mathrm dx$
ou
$\int_a^{b} f(x)\,\mathrm dx = \int_{a+kT}^{b+kT} f(x)\,\mathrm dx$

Propriété8

Si $f$ est continue sur $[a;\;b]$, alors
$F: [a;\;b]\to{\mathbb{R}}\\x\mapsto{\int_a^x f(x)\,\mathrm dx}$         
est la primitive de $f$ qui s’annule en $a$ sur $[a ;\;b]$

Propriété9

Si $f$ est continue sur $[a;\;b]$ et $a<b$ le réel $\large{\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm dx}$ est appelé la valeur moyenne de $f$ sur $[a;\;b]$.

Propriété10

On appelle inégalité de la moyenne si $f$ est continue sur $[a;\;b]$ et bornée
c’est-à-dire $m\le{f(x)}\le{M}$ alors $m(b-a)\le{\int_a^bf(x)\,\mathrm dx}\le{M(b-a)}$

B.  Technique de calcul des intégrales

1.  Intégrale des primitives trigonométriques

 Il faut parfois linéariser la fonction trigonométrique avant de calculer l’intégrale.

2.  Intégration par partie

Théorème

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $I$. $a$ et $b\in{I}$ ; si $u’$ et $v’$ sont continues sur $I$ alors

$\int_a^b u’(x).v(x)\,\mathrm dx$ $=[u(x).v(x)]^b_a-\int_a^b v’(x).u(x)\,\mathrm dx$.

En effet, si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ , on a :

$(uv)’=u’v+v’u\Rightarrow{u’v=(uv)’-v’u}$.

En appliquant l’opération sur les intégrales, on a :

$\int_a^b u’(x).v(x)\,\mathrm dx=$ $\int_a^b (u(x).v(x))’\mathrm dx $ $-\int_a^b v’(x).u(x)\,\mathrm dx$

$\int_a^b u’(x).v(x)\,\mathrm dx=$ $[u(x).v(x)]^b_a$ $-\int_a^b v’(x).u(x)\,\mathrm dx$

C.  Application du calcul intégral

1.  Calcul d’aire

 L’aire du domaine plan délimité par la courbe l’axe des abscisses et par les droites d’équation $x=a$ et $x=b$ nécessite le calcul intégral.

  •  La courbe se trouve au-dessus de l’axes des abscisses.

    $A=\int_a^b (f(x)-0)\,\mathrm dx\;Ua$

 

  • La courbe se trouve au-dessous de l’axes des abscisses.


$A=\int_a^b (0-f(x))\,\mathrm dx\;Ua\\ A=\int_a^b (-f(x))\,\mathrm dx\;Ua $

  •  La courbe se trouve coupe l’axes des abscisses.


    $A=\int_a^c (0-f(x))\,\mathrm dx\;Ua $ $+$ $\int_c^b (f(x)-0)\,\mathrm dx\;Ua $

2.  Calcul de volume

Théorème1

Si $f$ est une fonction continue sur $[a;\;b]$ et si $(C)$ sa coube représentative dans un repère orthogonal. Lorsqu'on fait tourner $(C)$ autour de l'axe des abscisses $(OX)$ alors $(C)$ forme un solide de volume $\mathbf{(\pi{\int_a^b[f(x)]^2\,\mathrm dx}).u.v}$

Théorème2

Si $f$ est une fonction continue sur $[a;\;b]$ et si $(C)$ sa coube représentative dans un repère orthogonal. Lorsqu'on fait tourner $(C)$ autour de l'axe des ordonnées $(OY)$ alors $(C)$ forme un solide de volume $\mathbf{(\pi{\int_{f(a)}^{f(b)}|x^2f(x)|\,\mathrm dx}).u.v}$