User Picture
Vous

Nombres complexes

I.  Présentation des nombres complexes

Certaines équations du second dégré n'ont pas de solution dans un ensemble contenant $\mathbb{R}$ et cet ensemble a les règles de calculs que dans $\mathbb{R}$. C'est l'ensemble des nombres complexes noté $\mathbf{\mathbb{C}}$. Dans cet ensemble, il existe un nombre $"i"$ tel que $i^2=-1$ d'où l'équation $\mathbf{x^2+1=0}\\{\Rightarrow{x^2=-1}}\\{\Rightarrow{x^2=i^2}}\\{\Rightarrow{x=i\;ou\;x=-i}}$
$\mathbf{S_{\mathbb{C}}=\{i;-i\}}$
Il existe un ensemble $\mathbb{C}$ appelé ensemble des nombres complexes muni de l'addition et de la multiplication telque:
- $\mathbf{\mathbb{C}}$ contient les nombres réels et un élément $\mathbf{i}$ tel que $\mathbf{i^2=-1}$
- $\mathbf{\mathbb{C}}$ obeit aux règles de calculs que dans $\mathbf{\mathbb{R}}$
- $\mathbf{\mathbb{R}}$ inclu dans $\mathbf{\mathbb{C}}$

A.  Forme algébrique d'un nombre complexe

1.  Définition

  On appelle nombre complexe, tout nombre qui s'écrit de la forme $\mathbf{a+ib}$ ou $\mathbf{x+iy}$ où $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ sont des nombres réels $( a \;et\; b \in{\mathbb{R}} )$ et $\mathbf{i}$ un élément tel que $\mathbf{i^2=-1}$. Cette écriture est unique pour chaque nombre complexe et est appelée forme algébrique du nombre complexe.
Le réel $\mathbf{a}$ est appelé partie réelle du nombre complexe et est notée $\Re_{e}$
Le réel $\mathbf{b}$ est appelé partie imaginaire du nombre complexe et est notée $\Im_{m}$

Exemple

$z=2+4i$
$\Re_{e}{(z)}=2\;;\;\Im_{m}{(z)}=4$

Conséquence et définition
Un nombre complexe $(z)$ est un nombre réel si et seulement si la partie imaginaire
$\Im_{m}{(z)}=0$
$z\in{\mathbb{R}}\Rightarrow{\Im_{m}{(z)}=0}$.
Un nombre complexe $z$ est un nombre imaginaire pur si et seulement si la partie réelle
$\Re_{e}{(z)}=0$
$z\in{\mathbb{R}}\Rightarrow{\Re_{e}{(z)}=0}$

Attention:
La partie imaginaire d'un nombre complexe est un réel.

2.  Equalité de deux nombres complexes

 Deux nombres complexes sont dits égaux lorsqu'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Autrement dit

${a+ib=a' + ib'}\iff{
\left\{
\begin{array}{l}
a=a'\\
b=b'
\end{array}
\right.
}$


Conséquence:
un nombre complexe est nul lorsque sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.
${a+ib=0}\iff{
\left\{
\begin{array}{l}
a=0\\
b=0
\end{array}
\right.
}$

3.  Conjugué d'un nombre complexe

Définition

Soit $\mathbf{z}$ un nombre complexe de forme algébrique $\mathbf{a+ib}$. Le complexe de forme algébrique $\mathbf{a-ib}$ est appelé conjugué du complexe $\mathbf{z}$. On le note $\mathbf{\bar{z}}$
$\mathbf{{z=a+ib}\Rightarrow{\bar{z}=a-ib}}$
- si $\mathbf{z}$ est un réel, on a: $\mathbf{z=\bar{z}}$
- si $\mathbf{z}$ est un imaginaire pur $\mathbf{z=-\bar{z}}$

Propriété

 Soit $\mathbf{z}$  et $\mathbf{z'}$ deux complexes, on a : $\mathbf{\overline{{z+z'}}=\bar{z}+\bar{z'}}\\
{\mathbf{\overline{z.z'}=\bar{z}.\bar{z'}}}\\{\mathbf{\bar{z}+\bar{z}=2\Re_{e}{(z)}}}\\{\mathbf{\bar{z}-\bar{z}=2\Im_{m}{(z)}}}\\
{\mathbf{{z}\times{\bar{z}}=\Re_{e}^{2}{(z)}+\Im_{m}^{2}{(z)}}}
$
Soit $\alpha \in{\mathbb{R}}$ ; on a:  $\mathbf{{\overline{\alpha{z}}}=\alpha{\bar{z}}}$
Si $\mathbf{z=z'}$ on a: $\mathbf{\overline{z\times{z'}}={(\bar{z})}^2\;et\;(\bar{z})^n={\bar{z}}^n}$

 

B.  Opération dans $\mathbb{C}$

1.  Règle opération

 Soit $z$ et $z'$ deux complexes telque $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$. On a:

- Somme: $z+z'=(a+a')+i(b+b')$
- Produit: $z\times{z'}=(aa'-bb')+i(a'b+ab')$
- Quotient: ${\frac{1}{z}}={\frac{\bar{z}}{a^2+b^2}}={\frac{a}{a^2+b^2}}-{\frac{b}{a^2+b^2}i}$

2.  Les propriétés

$i^{4n}=i^{2(2n)}=(-1)^{2n}=1$
$i^{4n+1}=i^{4n}\times{i}=i$
$i^{4n+2}=i^{4n}\times{i^2}=-1$
$i^{4n+3}=i^{4n}\times{i^3}=i^{4n}\times{i^2}\times{i}=-i$

NB :  $i^2=-1$

II.  Représentation géometrique d'un nombre complexe

A.  Affixe d’un point – d’un vecteur

1.  Affixe d’un point

Dans le plan menu d’un repère orthonormé direct de point $\mathbf{M(a ;b)}$ est appelé l’image du nombre complexe $\mathbf{a+ib}$. De même le nombre complexe $\mathbf{a+ib}$ est appelé affixe du point $M$. On note $\mathbf{M(a ;b)}$ ou $\mathbf{M(a+ib)}$ ou $\mathbf{z_M=a+ib}$.
$\mathbf{M_1(-3+2i)\;M_2(1-2i)}$

Remarque

Dans un plan associé à l’ensemble $\mathbb{C}$ : plan complexe, l’axe des abcisses est appelé axe des réels, c’est -à -dire tout point de l’axe $ox$ a pour affixe un nombre réel.
Tout point de l’axe des ordonnées a pour affixe un imaginaire pur : c’est l’axe des imaginaires purs

 

2.  Affixe d'un vecteur

Dans le plan menu d'un repère complexe, le vecteur $\mathbf{\vec{OM}(a;b)}$ est appelé vecteur image du nombre complexe $\mathbf{a+ib}$. Le complexe $\mathbf{a+ib}$ est appelé affixe du $\mathbf{\vec{OM}}$. De façon générale, si $A$ a pour affixe $z_A$ et $B$ pour affixe $Z_B$ alors le vecteur $\vec{AB}$ aura pour affixe $\mathbf{z_{\vec{AB}}=z_B-z_A}$

B.  Module d'un nombre complexe

1.  Activité

 On considère le nombre complexe $z=x+iy$ et $M$ son point image dans le plan complexe menu d'un repère orthonormé direct $O\vec{u}\;\vec{v}$.
1- Calculer la distance $\vec{OM}$ en utilisant les coordonnées de $M$
2- En déduire la distance $OM$ à l'aide de l'axe de $z$.
                          
                                 Solution

1- Calculons $OM$
$z=x+iy$
$OM=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}$
$OM=\sqrt{x^2+y^2}$

2- Déduisons $OM$ à l'aide de l'affixe de $z$
${z=x+iy}\Rightarrow{OM=\sqrt{x^2+y^2}}$
$OM=\sqrt{\Re_{e}^2(z)+\Im_{m}^2(z)}$

2.  Définition

$z$ étant un nombre complexe, on considère le point $M$ d'affixe $z$ dans le plan complexe menu d'un repère orthonormé direct $O\vec{u}\vec{v}$; on appelle module de $z$, le nombre réel positif égale à la distance $OM$.
On le note $\mathbf{|z|=||\vec{OM}||=\sqrt{\Re_{e}^2(z)+\Im_{e}^2(z)}}$
De façon générale, $A$ et $B$ étant deux points du plan complexe,
on a: $\mathbf{AB=|z_{\vec{AB}}|=|z_B-z_A|}$

3.  Propriétés et opérations sur les modules

Soient $z$ et $z'$ deux nombre complexe, on a:
$\mathbf{|z|=|\bar{z}|=|-z|}$
$\mathbf{|z\times{z'}|=|z|\times{|z'|}}$
$\mathbf{|z^n|=|z|^n}$
$\mathbf{|\frac{z}{z'}|=\frac{|z|}{|z'|}}$

C.  Argument d'un complexe non nul

1.  Activité

   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $O\;\vec{i}\;\vec{j}$. Soit $M$ le point d'affixe $z=x+iy$ appartenant au plan complexe et
$\alpha{=(\vec{i};\vec{OM})}$ .
1- Déterminer le module de $z$.
2- Ecrire $x$ et $y$ en fonction de $\alpha$.
3- En déduire l'expression de $z$ en fonction de $\alpha$.
                                                              

Solution

1- Déterminons module de $z$.
$z=x+iy\\|z|=\sqrt{x^2+y^2}$
2- Ecrivons $x$ et $y$ en fonction de $\alpha$.
$\alpha{=(\vec{i};\vec{OM})}$
$\cos{\alpha}=\frac{x}{OM}$
$\mathbf{x=OM\cos{\alpha}=|z|\cos{\alpha}}$
$\sin{\alpha}=\frac{y}{OM}$
$\mathbf{y=OM\sin{\alpha}=|z|\sin{\alpha}}$
2- Endéduire l'expression de $z$ en fonction de $\alpha$.
$z=x+iy$
$\mathbf{z=(|z|\cos{\alpha})+i(|z|\sin{\alpha})}$
$\mathbf{\alpha}$ est appelé argument de $z$

2.  Définition

Soit $M$ un point d'affixe $z$ dans le plan complexe menu d'un repère orthonormé direct $O\;\vec{u}\;\vec{v}$. On appelle argument toute mesure en radian de l'angle entre les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{OM}$
Soit $\alpha$ un argument de $z$. On note
$\mathbf{arg(z)=\alpha{+2k\pi}}$ avec $k\in{\mathbb{Z}}\\{\mathbf{arg(z)=\alpha{[2\pi]}}}$

Remarque

$arg(z)=\theta$ on a:$\left\{
\begin{array}{l}
\cos{\theta}=\frac{\Re(z)}{|z|}\\
\sin{\theta}=\frac{\Im(z)}{|z|}
\end{array}
\right.
$

3.  Propriétes et opérations sur les arguments

Propriété

Soit $z$ un nombre complexe non nul
-si $\mathbf{z\in{\mathbb{R^*}}\;:\;arg(z)=k\pi\;;\;k\in{Z}}$
$\left\{\begin{array}{l}
z\in{R^+}\\
z'\in{R^-}
\end{array}
\right.
$
-si $\mathbf{z\in{\mathbb{iR^*}}\;:\;arg(z)=\frac{\pi}{2}+k\pi\;;\;k\in{Z}}$

Opération

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls
$\mathbf{arg(\bar{z})=-arg(z)}$
$\mathbf{arg(-z)=\pi{+arg(z)}}$
$\mathbf{arg({z}\times{z'})=arg(z)+arg(z')}$
$\mathbf{arg(\frac{1}{z})=-arg(z)}$
$\mathbf{arg(\frac{z}{z'})=arg(z)-arg(z')}$
$\mathbf{arg({z^n})=n\;arg(z)}$

D.  Autres écritures d'un nombre complexe

1.  Activité

$\forall{z\in{C^*}}$ on a : $a+ib$
$z=\sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+i\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})\\{z=\sqrt{a^2+b^2}(\cos{\theta}+i\sin{\theta})}$.
Cette écriture est appelée forme trigonométrique de $z$.
De plus on a: $z=|z|e^{i\theta}$
$z={\sqrt{a^2+b^2}e^{i\theta}}$

2.  Définition

 On appelle forme trigonométrique d'un nombre complexe $z$ toute écriture de ce complexe sous la forme
$\mathbf{z=|z|(\cos{\theta}+i\sin{\theta})}$ où $\theta=arg(z)$
 Soit $z$ un complexe non nul d'argument $\theta$ , on appelle forme exponentielle de $z$ toute écriture de la forme $\mathbf{|z|e^{i\theta}}$
 En particulier, si $|z|=1$ alors $z=e^{i\theta}\\{\bar{z}=e^{-i\theta}}$

E.  Nombre complexe et transformation du plan

1.  La translation

Théorème

Soit $a$ un nom et $\vec{v}$ le vecteur d'affixe $a$ par transformation $T$ du plan puis à tout point $M$ d'affixe $z$ associée le point $M'$ d'ffixe $z'$ telque $\mathbf{z'=z+a}$ ou $\mathbf{z(\vec{v})=a}$ est la translation du vecteur $\vec{v}$ d'affixe $a$.

 

2.  La rotation

 Soit $a$ un complexe de module $|a|=1$ et $\theta$ un réel telque $a=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$. La transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $z'$ telque $z'=a\times{z}$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$
$\mathbf{M\longrightarrow{M'} {z\longmapsto{z}}
  {z'=e^{i\theta}\;z}}$

F.  Complexe et géométrie

1.  Sens géométrique du quotient de nombre complexe

Théorème

Soit $A$, $B$ et des points imaginaires respectifs des complexes $z_A$, $z_B$, $z_C$ alors on a :
$\mathbf{|\frac{z_A-z_B}{z_C-z_B}|=\frac{BA}{BC}}$
$\mathbf{arg(\frac{z_A-z_B}{z_C-z_B})=(\vec{BC};\vec{BA})[2\pi]}$

2.  Démonstration

Théorème

Soient $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ deux vecteurs d’affixe respectifs $\mathbf{z}$ et $\mathbf{z’}$.
$\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\mathbf{{\frac{z}{z'}}\in{i\mathbb{R^*}}}$
De même
$\mathbf{{(AB)}\perp{(BC)}\iff{arg(\frac{z_A-z_B}{z_C-z_B})
=\pm{\frac{\pi}{2}[2\pi]}}}$
Les vecteurs $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ sont colineaires si et seulement si $\mathbf{{\frac{z}{z'}}\in{\mathbb{R}}}$
De même $A,B,C$ sont alignés si et seulement si $\mathbf{\frac{z_A-z_B}{z_C-z_B}}\in{\mathbb{R}}$

III.  Application dans $\mathbb{C}$

A.  Résolution d'équations

1.  Racine $n^e$ d'un nombre complexe

$\mathbf{\underline{a - Racine\;n^e\;de\;l'unité}}$

${z^n=1}\Rightarrow{
\left\{
\begin{array}{l}
|z^n|=|1|\\
n\;arg(z)=0+2k\pi
\end{array}
\right.
}$ $\Rightarrow{
\left\{
\begin{array}{l}
|z^n|=|1|\\
n\;arg(z)=\frac{2k\pi}{n}
\end{array}
\right.
}$

$z=[1;\;\frac{2k\pi}{n}],\;k\in{\mathbb{Z}}$

Soit $\theta{k}=\frac{2k\pi}{n}$ on a: $z=[1;\;\theta{k}]$

Conclusion
$\forall{z\in{C^*}}$, on a : $z=[|z|;\;\theta]$
$z^n=1\Rightarrow{
\left\{
\begin{array}{l}
|z^n|=|1|\\
arg(z)=\frac{2k\pi}{n}\;k\in{\mathbb{Z}}
\end{array}
\right. }$

$\mathbf{\underline{b - Racine\; n^e\; d'un \;complexe\; a+ib}}$

Soit $\mathbf{z}$ un nombre complexe définit par $z=[|z|;\;\theta]$, on a :

${z^n=a+ib}\Rightarrow{[|z|^n;\;n\;\theta]=[\sqrt{a^2+b^2};\;\alpha]}$ ${\Rightarrow{
\left\{
\begin{array}{l}
|z|^n=\sqrt{a^2+b^2}\\
n\;\theta{=\alpha{+2k\pi}}
\end{array}
\right.
}}$ $\Rightarrow{
\left\{
\begin{array}{l}
|z|=\sqrt[n]{a^2+b^2}\\
\theta{={\frac{\alpha+2k\pi}{n}}\;k\in{Z}}
\end{array}
\right.
}$

2.  Resolution d’équation du seconde dégré

$\underline{\mathbf{a.  az^2 +bz+c\; avec\; (a,b,c)\in{R^3}}}$
-si ${\Delta{=0}}\Rightarrow{z_1=z_2=\frac{-b}{2a}}$ (solution double)
-si ${\Delta{>0}}\Rightarrow{z_1={\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \; ; z_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}}$
-si ${\Delta{<0}}\Rightarrow{z_1=\frac{-b-i\sqrt{{|\Delta|}}}{2a} \; ; z_2=\frac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}}$.
Deux solutions complexes conjuguées

$\underline{\mathbf{b. az^2+bz+c\; avec \;(a,b,c)\in{C^3}}}$
On procède comme suite
$\Rightarrow $$\mathbf{\Delta{=b^2-4ac}}$
$\Rightarrow $ on recherche les racines de $\mathbf{\Delta}$
$\Rightarrow $ chercher les solutions
       $ \mathbf{z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \; ; z_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}$

$\underline{\mathbf{c. az^3+bz^2+cz+c=0\;(a,b,c)\in{C} \ ;

a\ne{0}}}$

Théorème

soit $P$ un polynôme de degré $n$ et $z_0$ une racine de $P(z)$. Il existe alors un polynôme unique $Q(z)$ tel que $\mathbf{P(z)= (z-z_0).Q(z)}$ où $Q(z)$ est un polynôme de degré $n-1$

 
NB : Si $\mathbf{z_0}$ est une racine de $z$ alors $\mathbf{P(z_0)=0}$
${P(z_0)=0}\iff{\Re_{e}{(P(z_0))}=0}\\{\Im_{m}{(P(z_0))}=0}$

3.  Racine carrée d'un complexe $a+ib$

 Soit à determiner la racine $\sqrt{a}= 3-4i$
On a:
${z=x+iy}$ $ {\Rightarrow{z^2=d}}\\
{\Rightarrow{(x+iy)^2=3-4i}}\\
{\Rightarrow{
\left\{
\begin{array}{l}
x^2-y^2=3\\
2xy=-4
\end{array}
\right.}}$

De plus $|z^2|=|d|$ d'où
$\mathbf{\left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2=|d|\\
x^2-y^2=\Re_{e}{(d)}\\
2xy=\Im_{m}{(d)}
\end{array}
\right.}$

Par conséquence,
${\left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2=5\\
x^2-y^2=3\\
xy=-2
\end{array}
\right.}\\
{\Rightarrow{
\left\{
\begin{array}{l}
x=2\;ou\;x=-2\\
y=1\;ou\;y=-1
\end{array}
\right.}
}
$
Donc $z=2-i$ ou $z=-2+i$

Conclusion:
Pour tout complexe $z$ et $d\;;d=a+ib$ avec $z$ la racine carrée de $d$
${z}\; verifie\;{\left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2=|d|\\
x^2-y^2=\Re_{e}{(d)}\\
2xy=\Im_{m}{(d)}
\end{array}
\right.}$
Avec $x=\Re_{e}{(z)}$ et $y=\Im_{m}{(z)}$

B.  Linéarisation

Linéariser un polynôme trigonométrique c’est transformer de manière que le seul terme monôme soit de degré au plus égal 1 en $\cos{x}$ ou en $\sin{x}$.

1.  Formule de Moivre

Soit $z$ un complexe de module 1 et d’argument $\theta$,
On a :
$\mathbf{z=\cos{\theta}+i\sin{\theta}}$ (1)
$\mathbf{\bar{z}=\cos{\theta}-i\sin{\theta}}$ (2)
(1)+(2) $\Rightarrow{z+\bar{z}=2\cos{\theta}}$
(1)-(2) $\Rightarrow{z-\bar{z}=2i\sin{\theta}}$
De plus, $z^n=\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}\\{\bar{z}^n=\cos{n\theta}-i\sin{n\theta}}$
D’où la formule de Moivre
$\forall{z\in{C^*}}$ on a:

$\mathbf{{2\cos{n\theta}=z^n+\bar{z}^n}\Rightarrow{\cos{n\theta}=\frac{z^n+\bar{z}^n}{2}}}$

$\mathbf{{2i\sin{n\theta}=z^n-\bar{z}^n}\Rightarrow{\cos{n\theta}=\frac{z^n-\bar{z}^n}{2i}}}$

$\mathbf{z^n.\bar{z}^n=1}$

2.  Formule d’Euler

Soit $z$ un complexe de module 1 et d’argument $\theta$.
On a :
$z=\cos{\theta}+i\sin{\theta}=e^{i\theta}\ ;(1)$
$\bar{z}=\cos{\theta}-i\sin{\theta}=e^{-i\theta}\ ; (2)$
(1)+(2) $\Rightarrow{z+\bar{z}=2\cos{\theta}=e^{i\theta}+e^{-i\theta}}$
(1)-(2) $\Rightarrow{z-\bar{z}=2i\sin{\theta}= e^{i\theta}-e^{-i\theta}}$
De façon générale, on a les formules d’Euler

$2\cos{n\theta}=e^{in\theta}+ e^{-in\theta}$ $\Rightarrow$ $\cos{n}{\theta}=\frac{ e^{in\theta}+ e^{-in\theta}}{2}$

$2i\sin{n\theta}=e^{in\theta}- e^{-in\theta}$ $\Rightarrow$ $\sin{n}{\theta}=\frac{ e^{in\theta}- e^{-in\theta}}{2i}$

$e^{in\theta}. e^{-in\theta}=1$