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Courbes paramétrées planes

I.  Définition

A.  Activité

 Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O;\;\vec{i}\;;\vec{j})$, on place un point $A(3;\;2)$ et $\vec{u}\left(\begin{array}{cc}-3\\2 \end{array}\right)$. Soit $(D)$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$

a) Déterminer une équation paramétrique de la droite $(D)$.
b) En déduire une équation cartésienne de $(D)$.

Solution

a) Déterminons une équation paramétrique de la droite $(D)$

Soit $M(x;\;y)\in{(D)}$
$\vec{AM}
\left(\begin{array}{cc}
x-3\\y-2
\end{array}\right)\;colinéaire\ à \;
\vec{u}\left(\begin{array}{cc}
-3\\2
\end{array}\right)$

$\vec{AM}
\left(\begin{array}{cc}
x-3\\y-2
\end{array}\right)= k\vec{u}$ avec $k \in{\mathbb{R}}$
$ \Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
x-3=-3k\\y-2=2k
\end{array}
\right.$; $(k\in{\mathbb{R}})$
 La représentation de la droite paramétrée est:
$\mathbf{\left\{
\begin{array}{l}
x-3=-3k\\y-2=2k
\end{array}
\right.}$; $(k\in{\mathbb{R}})$

b) Déduisons-en l'équation cartésienne de $(D)$

 On a $x-3=-3k$ $\Rightarrow$ $k=\large{\frac{-x+3}{3}}$.
De plus, $y-2=2k$ $\Rightarrow$ $y-2=2\large{\frac{-x+3}{3}}\\3y+2x-12=0$
 L'équation cartésienne de (D) est:
$\mathbf{(D):\;3y+2x-12=0}$

B.  Définition

 Soit $P$ le plan muni d'un repère orthogonal.
Soient $x$ et $y$ deux fonctions numeriques definies sur l'intervalle $I$ de . Pour tout $t$ appartenant à $I$, on associe un unique point $M$ tel que $\vec{OM}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}$.

  • L'ensemble des points $M(x(t);\;y(t))$ avec $t$ ∈ $I$ du plan $P$, est appélé courbe paramétrée ou courbe paramétrique souvent notée $(\mathcal{C})$.
  • La variable $t$ est appélée le paramètre de $(\mathcal{C})$. $\mathbf{\left\{\begin{array}{l}
    x(t)=f(t)\\y(t)=g(t)
    \end{array}
    \right.}$; $t$ ∈ $I$, $f$ et $g$ étant des fonctions; est appélé équations paramétriques ou representations paramétriques de $(\mathcal{C})$.
  • Une équation cartésienne de $(\mathcal{C})$ établit un lien entre $x$ et $y$ ne dépendant pas du paramètre t.

II.  Vecteur dérivé

A.  Définition

 Soit $M$ le point de coordonnées $x(t);\;y(t)$; $f$ et $g$ deux fonctions numériques définies et dérivables sur leur ensemble de définition. Si l'on pose $\mathbf{\left\{\begin{array}{l}x(t)=f(t)\\y(t)=g(t)\end{array}\right.}$
Alors la courbe décrit par $M(t)$ admet au point $M$ une tangente dont le vecteur directeur $\vec{u}(t)$ est définie par : 
${\vec{u}(t)=\large{\frac{d\vec{OM}(t)}{dt}}=x'(t)\vec{i}+y'(t)\vec{j}}$. On l'appelle aussi vecteur dérivé.
 En cinématique, il s'agit du vecteur vitesse. L'équation de la tangente en $M$ est donnée par déterminant ${(\vec{u};\;\vec{AM})=0}$ où $\vec{u}$ est le vecteur directeur de la tangente, $A(x_0;\;y_0)$ et $M(x;\;y)$ deux points de la tangente.

B.  Interprétation

Le vecteur dérivé ou vecteur vitesse donne l’orientation de la trajectoire du point mobile. Le vecteur accélération défini par :
$\vec{a}(t)=$ $\frac{d’’\vec{OM}(t)}{dt}=$ $\frac{d\vec{v}(t)}{dt}=$ $x’’(t)\vec{i}+y’’(t)\vec{j}$ permet de déterminer la nature du mouvement.

  • $\mathbf{a=constant}$ : le mouvement uniformément varié
  • $\mathbf{\vec{a}.\vec{v}>0}$ : le mouvement est accéléré
  • $\mathbf{\vec{a}.\vec{v}<0}$ : le mouvement est retardé
  • $\mathbf{\vec{a}.\vec{v}=0}$ : le mouvement est uniforme.

III.  Etude et représentation graphique d’une courbe paramétrée

 L’on considère la courbe $\mathcal{C}$ de représentation paramétrée suivante :
$\mathbf{\left\{\begin{array}{l}x(t)=f(t)\\y(t)=g(t)\end{array}\right.}$; $t\in{I}$.

A.  Symétrique par rapport à l’axe des abscisses

1.  Etude

$\forall{t}\in{I} ;\;-t\in{I}$ et $\left\{\begin{array}{I}x(-t)=x(t)\\y(-t)=-y(t)\end{array}\right.$
$M(t)$ et $M(-t)$ sont symétrique par rapport à l’axe $Ox$.

2.  Représentation

B.  Symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

1.  Etude

$\forall{t}\in{I} ;\;-t\in{I}$ et $\left\{\begin{array}{I}x(-t)=-x(t)\\y(-t)=y(t)\end{array}\right.$
$M(t)$ et $M(-t)$ sont symétrique par rapport à l’axe $Oy$.

2.  Représentation

C.  Symétrique par rapport à l’origine du repère

1.  Etude

$\forall{t}\in{I} ;\;-t\in{I}$ et $\left\{\begin{array}{I}x(-t)=-x(t)\\y(-t)=-y(t)\end{array}\right.$
$M(t)$ et $M(-t)$ sont symétrique par rapport l’origine du repère.

2.  Représentation