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Systèmes d'équations - Systèmes d'inéquations

I.  Equations et système d’équations dans ℝ x ℝ

A.  Equations dans ℝ x ℝ

  1.  Exemple

    Soit à résoudre dans ℝ x ℝ l’équation 3x+2y=5

    Toute solution de l’équation 3x+2y=5 est un couple de réels (x ;y). On dit que le couple (x ;y) est l’inconnue de l’équation 3x+2y=5.
    Résoudre l’équation 3x+2y=5 c’est donc trouver tous les couples de réels (x ;y) pour que l’égalité 3x+2y=5 se verifie.
  2. Exemple de résolution
    Trouvons des couples de nombres réels qui vérifient l’équation 3x+2y=5

      X Y
    A 1 1
    B -1 4
    C 3 -1

     

    Y=$\frac{5-3x}{2}$

    (x;$\frac{5-3x}{2}$) est une solution générale de 3x+2y=5

    L’équation 3x+2y=5 admet une infinité de solutions

  3. Résolution graphique

Soit à résoudre graphiquement l’équation 3x+2y=5

Résoudre graphiquement l’équation 3x+2y=5 c’est trouver dans le plan muni d’un repère les points dont les coordonnées (x ;y) vérifient l’équation 3x+2y=5.

L’ensemble de ces points représente une droite d’équation 3x+2y=5

B.  Système d’équations dans ℝ x ℝ

Exemple

Résoudre dans ℝ x ℝ le système (F): $\left \{ \begin{array}{ccc} 3x+2y&=&5\\ 7x+5y&=&15 \end{array} \right .$

Résoudre ce système c’est trouver l’ensemble des couples de réels (x ;y) qui sont à la fois solution de 3𝑥 + 2𝑦 = 5 et de 7𝑥 + 5𝑦 = 15

1.  Résolution par Identification

On choisit une des inconnues que l’on exprime en fonction de l’autre dans chacune des deux équations. Résolvons par identification (F) $\left \{ \begin{array}{ccc} 3x+2y&=&5 (1)\\ 7x+5y&=&15 (2)\end{array} \right .$

Tirons y dans (1) et dans (2) $\left \{ \begin{array}{ccc} 2y&=&5-3x (1)\\ 5y&=&15-7x (2)\end{array} \right .$

$\left \{ \begin{array}{ccc} y&=&\frac{5-3x}{2} (1)\\ y&=&\frac{15-7x}{5} (2)\end{array} \right .$

$y=y$ $\Longleftrightarrow$ $\frac{5-3x}{2}=\frac{15-7x}{5}$

$5(5-3x)=2(15-7x)$;

$25-15x=30-14x$;

$-15x+14x=30-25$;

$-x=5$;

$x=-5$;

Remplacons x par sa valeur dans l'équation (1)

$3x+2y=5$;

$3(-5)+2y=5$;

$-15+2y=5$;

$2y=5+15$;

$2y=20$;

$y=10$;

$S_R×_R$={(-5;10)}

2.  Résolution par substitution

Dans l’une des équations , on exprime x en fonction de y (ou y en fonction de x) et reporte le résultat dans la seconde équation Exemple : Résolvons par substitution (F) $\left \{ \begin{array}{ccc} 3x+2y&=&5 (1)\\ 7x+5y&=&15 (2)\end{array} \right .$

$\left \{ \begin{array}{ccc} 2y&=&5-3x (1)\\ 7x+5y&=&15 (2)\end{array} \right .$

$\left \{ \begin{array}{ccc} y&=&\frac{5-3x}{2} (1)\\ 7x+5y&=&15 (2)\end{array} \right .$

Remplaçons y par $\frac{5-3x}{2}$ dans (2)

$5(\frac{5-3x}{2})+7x=15$

$\frac{25-15x+14x}{2}=15$

$25-x=30$

$-x=5$

$x=-5$

Remplaçons x par sa valeur dans l'équation (1)

3.  Résolution par combinaison linéaire

On élimine une des inconnues en multipliant les membres de chaque équation par un nombre judicieusement choisi.

Exemple : Résolvons par combinaison linéaire (F) $\left \{ \begin{array}{ccc} 3x+2y&=&5 (1)\\ 7x+5y&=&15 (2)\end{array} \right .$

Multiplions les membres de l'équation (1) par "-5" et ceux de (2) par "2"

$\left \{ \begin{array}{ccc} 3x+2y&=&5 (1) \\ 7x+5y&=&15 (2)\end{array} \right .$

$\left \{ \begin{array}{ccc} -15x-10y&=&-25 (1)\\ 14x+10y&=&30 (2)\end{array} \right .$

$-x+0=5$

$x=-5$

Remplaçons x par sa valeur dans l'équation (1)

$3x+2y=5$;

$3(-5)+2y=5$;

$-15+2y=5$;

$2y=5+15$;

$2y=20$;

$y=10$;

4.  Méthode graphique

On représente dans un repère orthonormé les droites (D1) et (D2) d’équation respective
2𝑥 - 𝑦 = 5 et 𝑥 + 3𝑦 = 6

Les coordonnées du point d’intersection des droites (D1) et (D2) est solution du

(E)  $\left \{ \begin{array}{ccc} 2x-y&=&5 (1)\\ x+3y&=&6 (2)\end{array} \right .$

Exemple résolvons graphiquement (E)  $\left \{ \begin{array}{ccc} 2x-y&=&5 (1)\\ x+3y&=&6 (2)\end{array} \right .$

(D1) : 2x-y= 5                     (D2) : x+3y = 6

Determiner les coordonnées des points A et B tel que (D1) : 2x-y= 5

Determiner les coordonnées des points E et F tel que (D2) : x+3y = 6

C.  Résolution de Problèmes

1.  Problème conduisant à un système d’équation dans ℝxℝ

Pour faire la fête de la réussite de leurs enfants aux examens scolaires, la famille SAVADOGO a tué des pintades et des lapins. Sachant que 20 animaux ont été tué et le nombre de pattes de ces animaux est de 54 , trouver le nombre de pintades et celui des lapins. Pour résoudre ce problème on suit la démarche suivante : (1)Choix des inconnues Soit x le nombre de pintades et y le nombre de lapins

II.  Inéquations et systèmes d’inéquations dans ℝ × ℝ

A.  Inéquation dans ℝ xℝ

Exemple Soit à résoudre dans ℝ xℝ l’inéquation $2x-y +3 > 0$. Résoudre cette inéquation $2x-y +3 > 0$ c’est trouver tous les couples de réels $(x ;y)$ tels que l’inéquation $2x-y +3 > 0$ se vérifie . L’inéquation $2x-y+3>0$ admet une infinité de solutions Par exemple:

  X Y
A 0 0
B 1 1
C 3 -1
D 5 2
E 7 0

Résolution graphique

Soit à  résoudre graphiquement l’inéquation $2x-y +3 < 0$ c’est trouver dans le plan muni d’un repère les points dont les coordonnées $(x ;y)$ vérifient $2x-y +3 < 0$ Ainsi on représente la droite $(D)$ d’équation $2x-y +3= 0$ et l’ensemble solution est un demi plan délimité par la droite $(D)$ que l’on peut hachurer

$(D):2x-y+3=0$

  X Y
A -2 -1
B 0 3

 

 

$C(-4;2) :$ $-8-2+3=-7<0$ alors $C∈S_R×_R$

$2x-y+3<0$

 

$D(3;2) :  2(3)-2+3$ $6-2+3=7>0$ alors $D∉S_R×_R$

$2x-y+3<0$

B.  Systèmes d’inéquations dans ℝ xℝ

Soit à résoudre graphiquement le système (E)$\left \{ \begin{array}{ccc}x + y (1)&>&-1\\ x - 2&>&-4 (2) \end{array} \right .$

$(D_1):x+y=-1$

  x y
A 0 -1
B -1 0

$(D_2):x-2y=-4$

  x y
A -2 -1
B -4 0

 

 

III.  Résolution de Problèmes

A.  Problème conduisant à un système d’équation dans ℝxℝ

Pour faire la fête de la réussite de leurs enfants aux examens scolaires, la famille SAVADOGO a tué des pintades et des lapins. Sachant que 20 animaux ont été tué et le nombre de pattes de ces animaux est de 54 , trouver le nombre de pintades et celui des lapins.

Pour résoudre ce problème on suit la démarche suivante :

1 - Choix des inconnues

Soit x le nombre de pintades et y le nombre de lapins

2 - Mise en équations

$\left \{ \begin{array}{ccc} x+y&=&20\\ 2x+4y&=&54\end{array} \right .$

3 - Résolution du système

On trouve après résolution que $x=13$  et   $y=7$

4 - Vérification

$\left \{ \begin{array}{ccc} x+y&=&20\\ 2x+4y&=&54\end{array} \right .$   

$\left \{ \begin{array}{ccc} 13+7&=&20\\ 2*13+4*7&=&54\end {array} \right .vrai$

5 - Conclusion

Le nombre de pintades est de 13 et celui de lapins est de 7

Exercice d’application

Dans une ferme il y a des poules et des chèvres.

Sachant qu’il y a au total 23 têtes et 76 pattes,combien y a-t-il de poules et de chèvres ?

B.  Problème conduisant à un système d’inéquation dans ℝxℝ

Une usine fabrique deux produits A et B .La fabrication d’une tonne du produit A nécessite 1h de travail et la fabrication d’une tonne du produit B nécessite 2h de travail. L’usine travaille au maximum 16heures par jour. La fabrication d’une tonne de A entraine une dépense de 3000francs et la fabrication d’une tonne de B entraine une dépense de 1000francs. Le budget de l’entreprise en permet de consacrer plus de 24000francs par jour à cette fabrication. Un client commande à cette usine x tonnes du produit A et y tonnes de produit B.(x et y non nuls).

a) Déterminer graphiquement l’ensemble des couples naturels(x ; y) qui correspondent aux commandes que l’usine peut fabriquer en une journée.

b) Déterminer l’ensemble de couples de naturels(x ; y) pour lesquels la masse totale des produits fabriqués est maximale.

Résolution du problème

(1) Choix des inconnues
Soit x le nombre de tonnes de produit A et y celui du produit B tel que x> 0 et y>0

(2)Mise en inéquations
$\left \{ \begin{array}{ccc} x+2y&≤&16 (1)\\ 3000x+1000y&≤&24000 (2)\end{array} \right .$

$\left \{ \begin{array}{ccc} x+2y&≤&16 (1)\\ 3x+y&≤&24 (2)\end{array} \right .$

(3) Résolution graphique

$(D_1):x+2y=16$

  x y
A 4 6
B 2 7

$(D_2):3x-y=24$

  x y
A 6 6
B 8 0

 

                   

(4) conclusion

  1. L’ensemble des couples naturels(x ; y) qui correspondent aux commandes que l’usine peut fabriquer en une journée sont (1 ;1) ; (1 ;2)…………..les 39 Pointes
  2. L’ensemble de couples de naturels(x ; y) pour lesquels la masse totale des produits fabriqués est maximale sont : A(4 ; 6) ; B(2 ; 7) ; D(8 ;0) et E(7 ; 3)