1. Montrons que, pour tout réel $x$ , on a :
$\frac{1}{(e^x+1)^2}=1-\frac{e^x}{e^x+1}-\frac{e^x}{(e^x+1)^2}$
$1-\frac{e^x}{e^x+1}$-$\frac{e^x}{(e^x+1)^2}$=$ \frac{(e^x+1)^2-e^x(e^x+1)^2-e^x}{(e^x+1)^2}$ =$\frac{e^{2x}+2e^x+1-e^{2x}-e^x-e^x}{(e^x+1)^2}$ = $\frac{1}{(e^x+1)^2}$
2. Déduisons de 1. le calcul de l’intégrale $I=\int_0^1\frac{1}{(e^x+1)^2}dx$
$I=\int_0^1\frac{1}{(e^x+1)^2}dx$ $I=\int_0^1(1-\frac{e^x}{e^x+1}-\frac{e^x}{(e^x+1)^2})dx$ = $[x-\ln{(e^x+1)}+\frac{1}{e^x+1}]^1_0$ $I=(1-\ln{(1+e)}+\frac{1}{e+1})$ - $(0-\ln{2}+\frac{1}{2})$ $I=\frac{1}{2}+\frac{1}{e+1}+\ln{2}-\ln{(1+e)}$
3. Déterminons une primitive de $f(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^3}dx$.
$f(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^3}$ = $(e^x+1)(e^x+1)^{-3}$ $\Rightarrow$ $F(x)=\frac{1}{-3+1}(e^x+1)^{-3+1}$ $\Rightarrow$ $F(x)=\frac{-1}{2}*\frac{1}{(e^x+1)^2}$
Calculons à l’aide d’une intégration par parties $J=\int_0^1\frac{xe^x}{(e^x+1)^3}dx$.
Posons $u(x)=x\;;v'(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^3}\Rightarrow\;u'(x)=1\;;v(x)=\frac{-1}{2}*\frac{1}{(e^x+1)^2}\;\Rightarrow$
$J=\frac{-1}{2}[\frac{x}{(e^x+1)^2}]_0^1+\frac{1}{2}\int_0^1\frac{1}{(e^x+1)^2}dx\Rightarrow$ $J=\frac{-1}{2(e+1)^2}+\frac{1}{2}I$ donc
$J=\frac{-1}{2(e+1)^2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2(e+1)}+\frac{\ln2}{2}-\frac{\ln(1+e)}{2}$
