Equations - Inéquations
I. Equation du premier degré à une inconnue
A. Rappel
Une équation est une égalitée où se trouve une inconnue.
Résoudre une équation c'est trouver la/les valeur(s) de(s) l'inconnue(s) pour que l'égalité se vérifie.
B. Equation de type $ax+b=cx+d$
Résoudre dans $R$ l’équation $3x+1=x-4$ et $\frac{x}{3}-5=-2x+\frac{3}{2}$.
Résolution:
$3x+1=x-4$
$3x-x=-4-1$
$2x=-5$
$x=-\frac{5}{2}$
$\mathbf{S_R=-{\frac{5}{2}}}$
$\frac{x}{3}-5=-2x+\frac{3}{2}$
$\frac{x}{3}+2x= \frac{3}{2} +5$
$\frac{x+6x}{3}= \frac{3+10}{3}$
$x+6x=3+10$
$7x=13$
$x=\frac{13}{7}$
$\mathbf{S_R={\frac {13}{7}}}$
On trouve respectivement $S_{R}={ \frac{-5}{2}}$ et $S_{R}={\frac{13}{7}}$.
Remarque : la resolution d'une équation amène à chercher $x$. Il s'agit ainsi de regrouper $x$ d'un coté et de l'égaliser les réels d'un coté.
Exercice d'application
Résoudre dans $R$: $\frac{x}{4} - \frac{3}{2}= \frac{-x+1}{6}$ et $17x+10=-7x-9$.
C. Equation de types $(ax+b)(cx+d)=0$
Rappel: si $ab=0$ alors $a=0$ ou $b=0$.
Résoudre dans $R$: $(3x+6)(x -3)=0$
$(3x+6)(x -3)=0 \Longleftrightarrow (3x+6)=0$ ou $(x -3)=0$
$ \Longleftrightarrow x=-2$ ou $x=3$
$S_{R}$={${-2;3}$}
D. Equation de type $\frac{ax+b}{cx+d}=e$
résoudre dans $R$ : $\frac{3x-1}{2x-5}$=5.
On trouve $S_{R}$={$\frac{24}{7}$}.
Exercice d’application
Résoudre dans $R$: $\frac{7x-1}{2x-3}$=$\frac{5}{3}$.
II. Inéquation du premier degré à une inconnue
A. Rappels
- Une inéquation est une inégalité où se trouve une inconnue;
- Résoudre une inéquation c’est donner l’ensemble de toutes les inconnues pour que l’inégalité se vérifie.
B. L'inéquation de type $ ax+b< cx+d $
$3x-7<11x-1$ et $2x-1<x+9$
$S_{R}=]\frac{-3}{4};+\infty[$ et $S_{R}=]-\infty;10[$
NB :L’ensemble de solution est la partie non hachurée de la droite.
Exercice d’application
Résoudre dans $R$: $\frac{3x+1}{8}$-$\frac{2x+3}{4}$ < $\frac{x+5}{2}$
C. Inéquation de type $ (ax +b)(cx+d) <0 $
On étudie les signes de chaque facteur et on consigne les résultats obtenus dans un tableau.
Résoudre dans $R$: $(2x +5)(3x+6)<0$
Résolution:
Cherchons d’abord les valeurs de x pour lesquelles $(2x +5)(3x+6)=0$.
On trouve $x=\frac{-5}{2} ou x =-3$.
Tableau de signes
$S_{R}=]-3;\frac{-5}{2}[$
Exercice d’application
Résoudre dans $R$:
a) $(x-1)(-x-2)\ge0$
b) $(-3x+7)(4x-5)\geq0$
III. Equations avec valeurs absolues
A. Equation de type $| ax+b|=c$ (c positif)
$|ax+b|=c \Longleftrightarrow ax+b=-c$
Résoudre $|3x-5|=1$.
Résolution
$ 3x-5=1 \longleftrightarrow 3x=1+5 \longleftrightarrow3x=6 \longleftrightarrow x=2$
$ 3x-5=-1\longleftrightarrow 3x=-1+5 \longleftrightarrow 3x=4 \longleftrightarrow x=\frac{4}{3}$
$S_{R}$={$\frac{4}{3}; 2$}
B. Equations de types $ |ax+b|=cx+d$
Soit à résoudre $|x-5|= 7x +1$.
Résolution:
Ecrivons $|x-5|$ sans le symbole de valeur absolue.
Posons $ x-5=0 \longleftrightarrow x= 5$.
- Sur $]-\infty ;5 [$ ;
$|x-5|= -x+5 \longleftrightarrow -x+5=7x +1 \longleftrightarrow 7x+x=5-1 \longleftrightarrow 8x= 4 \longleftrightarrow x=\frac{1}{2}$ $S_{R}=[\frac{1}{2}]$
- Sur $]5 ;+\infty [$ ;
$|x-5|= x-5 \longleftrightarrow x-5=7x +1 \longleftrightarrow 7x-x=-5-1 \longleftrightarrow 6x= -6 \longleftrightarrow x=-1$
$S_{R}=[{-1; \frac{1}{2}}]$
C. Equations de types $|ax+b|=|cx+d|$
Soit à résoudre $|5x+2|=|x-1|$.
Résolution:
$|5x+2|=|x-1|$ $ \longleftrightarrow |5x+2|-|x-1|=0$
On écrit $|5x+2|-|x-1|$ sans le symbole de la valeur absolue
- Sur $]-\infty ;-\frac{2}{5} ]$;
$ |5x+2|-|x-1|=0$ $\longleftrightarrow -4x-3=0\\ \longleftrightarrow -4x=3\\ \longleftrightarrow x= \frac{-3}{4} \\S_{1}= [-\frac{3}{4}]$ - Sur $[\frac{-2}{5} ;1]$;
$ |5x+2|-|x-1|=0$ $\longleftrightarrow 6x+1=0\\ \longleftrightarrow 6x=-1\\ \longleftrightarrow x=\frac{-1}{6}\\S_{2}=[ -\frac{1}{6} ]$ - Sur $]1 ;+\infty ]$;
$|5x+2|-|x-1|=0$ $\longleftrightarrow 4x+3=0\\ \longleftrightarrow 4x=-3\\ \longleftrightarrow x=-\frac{3}{4}\\S_{3}= [-\frac{3}{4}]$
$ S_{R}= [\frac{-3}{4} ; \frac{-1}{6} ]$